20ª Aula - Revisão: Valores e vectores próprios de transformações lineares e de matrizes, representações matriciais diagonais (diagonalização de matrizes); relação entre matrizes que representam uma mesma transformação linear em pares de bases do domínio e do espaço de chegada diferentes em termos das matrizes de mudança de base. Exemplo de obtenção de base para representação matricial diagonal de transformação linear. Exemplo de transformação linear que transforma circunferências com centro na origem em elipses. Definição, equações cartesianas e descrição geométrica de elipses e hipérboles.

24 outubro 2019, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Valores e vectores próprios de transformações lineares e de matrizes. Existência de representação matricial diagonal de T∈L(V,V) com V de dimensão finita (ou de diagonalização de matriz) se e só se existe base de V constituída por vectores próprios (nem sempre existe). Cálculo de valores próprios e de vectores próprios. Relação de representações matriciais A e A' de T∈L(V,W), com V e W de dimensão finita, com mudanças de bases em V e em W com matrizes de mudança de bases, resp., S_V e S_W : A'=(S_W)^-1AS_V .

Exemplo de transformação linear em ℝ² com representação matricial diagonal e de cálculo de uma correspondente base e dos elementos na diagonal principal, ou seja de 2 vectores próprios linearmente independentes e dos valores próprios associados.

Exemplo de transformação linear em ℝ² que transforma circunferências com centro na origem em elipses com centro na origem.

Definição e equações cartesianas standard ou canónicas (eixos de simetria coincidentes com eixos coordenados) de elipses (x²/a²+ y²/b²=1) e de hipérboles  (x²/a²- y²/b²=±1) . Rectas assímptotas, eixo real e eixo transverso e ilustração geométrica. Se o centro não está na origem e/ou os eixos de simetria não são eixos coordenados ortogonais, as equações cartesianas não são as canónicas: Com uma translação da origem de coordenadas para o centro da elipse ou hipérbole e uma mudança de base (rotação) para uma base de vecores com as direcções dos eixos de simetria (a determinar calculando vectores próprios de uma matriz) obtêm-se coordenadas em que a equação cartesiana é canónica.