27ª Aula - Produtos internos e espaços euclidianos: motivação, definição, noções básicas (projecção ortogonal, norma, ortogonalidade, ângulo) e desigualdade de Cauchy-Schwarz. Produtos internos canónicos em ℝn e ℂn. Matriz adjunta e cálculo de produtos internos canónicos com operações de matrizes. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Exemplos de produtos internos não canónicos em ℝn e consequências.
11 novembro 2019, 12:00 • Luis Magalhães
Revisão da motivação dos conceitos de espaço euclidiano e produto interno.
Definição: Produto interno num espaço linear real ou complexo V é função de V2 nos escalares de V (x,y)↦<x,y> com as propriedades:
(1) Linearidade no 1º factor com o 2º fixo: x ↦ <x,y> com y∈V fixo é transformação linear de V nos escalares de V ;
(2) Simetria (se V é espaço linear real) ou simetria hermitiana (se V é espaço linear complexo): <y,x>=⟨x,y⟩ ∀x,y∈V .
(3) Positividade: x≠0 ⇒ <x,x> >0 ∀x∈V .
Espaço euclidiano é um espaço linear com um produto interno.
Definições num espaço euclidiano: norma ou comprimento de vector (||x||=<x,x>(1/2)), projecção ortogonal de vector y sobre vector x≠0 ( (<y,x>/||x||2)x ), vectores ortogonais x⊥y (<x,y>=0), ângulo entre vectores ≠0 ( arc cos(<x,y>/(||x|| ||y||)) ).
Motivação geométrica da Desigualdade de Cauchy-Schwarz: o comprimento da projecção ortogonal de qualquer vector y sobre um vector ≠0 é ≤ ao comprimento de y, com igualdade se e só se os vectores são colineares.
Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |<x,y>| ≤ ||x|| ||y|| ∀x,y∈V, com igualdade se e só se x,y são linearmente dependentes.
(Dem.: Para x≠0 calcular 0 ≤ || y - <y,x>/||x||2) x ||2 e verificar que igualdade só acontece se x,y são linearmente dependentes. Para x=0 os dois lados da desigualdade são 0 e x,y são linearmente dependentes.)
Exemplos: Produtos internos canónicos em ℝn e em ℂn, cálculo de normas, ângulos, ortogonalidade e conjunto dos pontos equidistantes da origem (em ℝn é uma superfície esférica no espaço n-dimensional; em ℝ2 é uma circunferência; em ℝ3 é a superfície de uma esfera neste espaço), cálculo de produto interno canónico com produtos de matrizes: x·y=ytx em espaço linear real, x·y=y*x em espaço linear complexo; se A é matriz complexa, a adjunta de A é A* que é a transposta da matriz obtida conjugando todas as componentes de A . Exemplos de produtos internos não canónicos em ℝ2: exemplos em que os vectores da base canónica têm comprimentos ≠1 e não são ortogonais, e em que os conjuntos de pontos equidistantes da origem são elipses.