29ª Aula - Revisão: Projecções e projecções ortogonais, decomposição ortogonal, existência de decomposição ortogonal se um dos subespaços tem dimensão finita. Condição necessária e suficiente para uma projecção num espaço euclidiano ser ortogonal. Fórmula de Pitágoras para projecções ortogonais. Aplicações de Ortogonalidade e Projecções Ortogonais: optimização, alternativa de Fredholm, quadrados mínimos, regressão linear.

22 novembro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Uma projecção num espaço linear V é uma transformação linear P de V em V idempotente (i.e. P²=P) . É a projecção sobre S=P(V) paralelamente a R=(1_V-P)(V) , e tem-se a decomposição em soma directa V=S⊕R . 
Se V é um espaço euclidiano, diz-se que a projecção é ortogonal se R=S^⊥. Nesse caso tem-se a decomposição ortogonal V=S⊕S^⊥ . Nem sempre existe se S e S^⊥ têm dimensão finita, mas existe sempre se um deles tem dimensão finita; se dim S=n∈ℕ , P(x)=∑_j<x,v_j>v_j , em que (v₁, ..., v_n) é uma base ortonormal de S (existe sempre tal base em consequência do processo de ortogonalização de Gram-Schmidt; se a base de que dispomos não é ortonormal tem de se obter uma tal base, e.g. com ortogonalização de Gram-Schmidt seguida de normalização dos vectores).

Duas propriedades essenciais de projecções ortogonais P em espaços euclidianos V são:
(1)  <Px,y>=<x,Py> para todos x,y∈V. 
(2) ||x||²=||Px||²+||P^⊥x||² para x∈V (Fórmula de Pitágoras para projecções ortogonais).
(Prova: aplicar decomposição ortogonal de x e y).

Uma projecção P num espaço euclidiano V é ortogonal se e só se <Px,y>=<x,Py> para todos x,y∈V.

Aproximação de vectores x por elementos de subespaços lineares S de espaços euclidianos V com decomposição em soma directa V=S⊕S^⊥: existe um único elementos de S a distância mínima de x , que é a projecção ortogonal de x em S (prova: Fórmula de Pitágoras).

Aplicações de ortogonalidade a sistemas de equações lineares:

(1) Alternativa de Fredholm para matrizes reais ou complexas e para sistemas de equações lineares: R(A)^⊥=N(A^t), R(A^t)=N(A)^⊥  ou R(A)^⊥=N(A*), R(A*)=N(A)^⊥ conforme matriz mxn A é real ou complexa, e Ax=b tem solução se e só se b é ortogonal às soluções de A^ty=0 ou A^*y=0 conforme A é real ou complexa.
      (i) Em alternativa, ou Ax=b tem solução ou b não é ortogonal às soluções de A^*y=0 .
     (ii) Em alternativa, ou Ax=b tem solução para todo b∈ℝ^m (i.e. N(A*)={0} ) ou A*y=0 é indeterminado (i.e. N(A*)≠{0} ) 

(2) Soluções de quadrados mínimos de sistemas de equações lineares em ℝ ⁿ e ℂ ⁿ (mesmo para sistemas impossíveis); 

(3) Regressão Linear (ajuste de planos-k em em ℝ ⁿ e ℂ ⁿa pontos dados, aproximação por transformação linear somada a constante);