30ª Aula - Revisão: Soluções de quadrados mínimos de sistemas de equações lineares, regressão linear. Fórmula explícita para projecção ortogonal em |Km sobre um subespaço linear em termos de uma base do subespaço. Equações cartesianas de planos-k. Continuação de exemplos sobre espaços euclidianos.

26 Novembro 2018, 08:00 Luis Magalhães

(Aula de substituição da aula do feriado de 1.NOV, sala Ga3)

Revisão: As soluções de quadrados mínimos de sistemas de equações lineares impossíveis Ax=b , com A mxn, são as soluções de (A*A)x=A*. Há uma só solução de quadrados mínimos se e só se A*A é não singular, ou seja se e só se rank A=n . Neste caso a solução de quadrados mínimos é x=(A*A)-1A*e Ax=A(A*A)-1A*b é a projecção ortogonal no produto interno canónico em |Km de b em R(A) , pelo que se as colunas de A são uma base de um subespaço linear S de |Km, a projecção ortogonal em  |Km sobre S é dada pela fórmula explícita PS(b)=A(A*A)-1A*b , ou seja tem representação matricial A(A*A)-1A* na base canónica de |Km. Aplicação a regressão linear e observação a que regressão multilinear é análoga.

Equações cartesianas de planos-k em |Kn (ℝn ou ℂn): A(x-p)=0 é uma equação cartesiana do plano-k p+N(A) , com k=dim N(A) . Dado um plano-k {p}+S em |Kn, em que S é subespaço linear de |Kn, dim S=k , obtém-se uma equação cartesiana A(x-p)=0 de S com A a matriz (n-k)xn cujas linhas são uma base de S. A equação cartesiana de um plano-k em |Kn é um sistema de n-k equações lineares a11x1+a12x2+ ⋯ +a1nxn=b1 , ... , ak1x1+ak2x2+ ⋯ +ak2xn=bk, em que (a11, a12, ..., a1n), (a21, a22, ..., a2n), ..., (ak1, ak2, ..., akn) são vectores ortogonais ao plano que são uma base do espaço ortogonal ao plano. Se o plano-k é ortogonal ao espaço linear gerado por (a11, a12, ..., a1n) , (a21, a22, ..., a2n) , ..., (ak1, ak2, ..., akn) e passa no ponto p=(p1, ... pn) , a equação cartesiana do plano é Ax=A, pelo que nas equações acima b=A.

Continuação de exemplos sobre espaços euclidianos:

(1) Espaço euclidiano C0([0,2π],ℝ) com <f,g>=∫[0,2π]fg . O ângulo entre as funções h(x)=1, k(x)=x  é arccos(∫[0,2π]x dx/[(∫[0,2π]1)1/2(∫[0,2π]x2)1/2]) = arccos([(2π)2/2]/[(2π)1/2(2π)3/2/31/2] = 31/2/2 = π/6 = 30º .

(2) Espaço euclidiano C0([0,2π],ℂ) com <f,g>=∫[0,2π]fg . O conjunto {eikt/(2π)1/2: k∈ℤ} é ortonormal.