30ª Aula - Revisão: Soluções de quadrados mínimos de sistemas de equações lineares, regressão linear. Fórmula explícita para projecção ortogonal em |Km sobre um subespaço linear em termos de uma base do subespaço. Equações cartesianas de planos-k. Continuação de exemplos sobre espaços euclidianos.

26 novembro 2018, 08:00 • Luis Magalhães

(Aula de substituição da aula do feriado de 1.NOV, sala Ga3)

Revisão: As soluções de quadrados mínimos de sistemas de equações lineares impossíveis Ax=b , com A mxn, são as soluções de (A*A)x=A*b . Há uma só solução de quadrados mínimos se e só se A*A é não singular, ou seja se e só se rank A=n . Neste caso a solução de quadrados mínimos é x=(A*A)^-1A*b e Ax=A(A*A)^-1A*b é a projecção ortogonal no produto interno canónico em |K^m de b em R(A) , pelo que se as colunas de A são uma base de um subespaço linear S de |K^m, a projecção ortogonal em  |K^m sobre S é dada pela fórmula explícita P_S(b)=A(A*A)^-1A*b , ou seja tem representação matricial A(A*A)^-1A* na base canónica de |K^m. Aplicação a regressão linear e observação a que regressão multilinear é análoga.

Equações cartesianas de planos-k em |Kⁿ (ℝⁿ ou ℂⁿ): A(x-p)=0 é uma equação cartesiana do plano-k p+N(A) , com k=dim N(A) . Dado um plano-k {p}+S em |Kⁿ, em que S é subespaço linear de |Kⁿ, dim S=k , obtém-se uma equação cartesiana A(x-p)=0 de S com A a matriz (n-k)xn cujas linhas são uma base de S^⊥. A equação cartesiana de um plano-k em |Kⁿ é um sistema de n-k equações lineares a₁₁x₁+a₁₂x₂+ ⋯ +a_1nx_n=b₁ , ... , a_k1x₁+a_k2x₂+ ⋯ +a_k2x_n=b_k, em que (a₁₁, a₁₂, ..., a_1n), (a₂₁, a₂₂, ..., a_2n), ..., (a_k1, a_k2, ..., a_kn) são vectores ortogonais ao plano que são uma base do espaço ortogonal ao plano. Se o plano-k é ortogonal ao espaço linear gerado por (a₁₁, a₁₂, ..., a_1n) , (a₂₁, a₂₂, ..., a_2n) , ..., (a_k1, a_k2, ..., a_kn) e passa no ponto p=(p₁, ... p_n) , a equação cartesiana do plano é Ax=Ap , pelo que nas equações acima b=Ap .

Continuação de exemplos sobre espaços euclidianos:

(1) Espaço euclidiano C⁰([0,2π],ℝ) com <f,g>=∫_[0,2π]fg . O ângulo entre as funções h(x)=1, k(x)=x  é arccos(∫_[0,2π]x dx/[(∫_[0,2π]1)^1/2(∫_[0,2π]x²)^1/2]) = arccos([(2π)²/2]/[(2π)^1/2(2π)^3/2/3^1/2] = 3^1/2/2 = π/6 = 30º .

(2) Espaço euclidiano C⁰([0,2π],ℂ) com <f,g>=∫_[0,2π]fg . O conjunto {e^ikt/(2π)^1/2: k∈ℤ} é ortonormal.