34ª Aula - Revisão: Definição e propriedades básicas de determinante. Continuação de determinantes: fórmula para determinantes a partir da definição (com permutações), existência e unicidade de determinante, cálculo por eliminação de Gauss, fórmula de Laplace, determinante de matrizes triangulares e de transpostas de matrizes, determinante e não singularidade de matriz, determinante do produto de matriz, determinante da inversa de matriz não singular, aplicações de determinantes (volume-n de paralelepípedos-n em ℝn, volume-k de paralelepípedos-k em ℝn (raiz quadrada do determnante da matriz de Gram das arestas), fórmula para inversa de matriz não singular em termos do determinante e da matriz cofactor.

3 Dezembro 2018, 12:00 Luis Magalhães

Revisão: Definição de determinante em |K n (|K=ℝ ou |K=ℂ) (função d:(|K n) n→|K, multilinear nula se dois argumentos iguais, 1 se argumentos são a base canónica de |K n). Se A é matriz nxn det A=d( a 1, ...,  a n) em que  a j é a linha j de A . Vol nP( a 1, ...,  a n) = |d( a 1, ...,  a n)| = |det A| . Propriedades: =0 se algum argumento =0 ; muda de sinal com a troca de um par de argumentos; =0 se argumentos linearmente dependentes.

Exemplo: Fórmula para determinante de matriz 3x3 obtida directamente da definição (na aula anterior obteve-se para 2x2). 

Fórmula geral para o determinante directamente da definição (em termos de permutações): soma de parcelas que são todos os produtos possíveis de n componentes da matriz, uma de cada linha e coluna sem repetições, com o sinal positivo ou negativo conforme a permutação das colunas consideradas para cada linha pela ordem (1,2, ..., n) é par ou ímpar (i.e. conforme pode ser levada para a ordem crescente por um nº par ou ímpar de trocas de 1 par de cada vez)  Em consequência obtém-se:

Teorema: A função determinante d:(|Kn)n→|K existe e é única.

O determinante de matrizes quadradas permanece invariante subtraindo a qualquer linha uma outra multiplicada por uma escalar.

Cálculo de determinantes de matrizes A nxn por eliminação de Gauss: (1) se há menos de n pivots, det A=0; (2) se há n pivots, det A=±(produto dos pivots) com sinal + ou - conforme o nº de trocas de linhas na eliminação de Gauss é par ou ímpar.

Se A é matriz quadrada, det A≠0 se e só se A é não singular (det A=0 se e só se A é singular).

Definições: menor-ij de matriz A (é o det Aij  em que Aij  é a submatriz obtida suprimindo a A a linha i e a coluna j ), cofactor-ij de matriz A (é (cof A)ij=(-1)i+jdet Aij ), matriz dos cofactores de uma matriz quadrada A (é a matriz com componente-ij igual ao cofactor-ij de A), Fórmula de Laplace em relação a uma qualquer linha para cálculo de determinantes (det A = ∑aij (cof Aij) = ∑j (-1)i+j aij det Aij ); idem em relação a uma qualquer coluna (det A = ∑aij (cof Aij) = ∑(-1)i+j aij det Aij ). Exemplos.

Observação: genericamente para matrizes que não sejam de muito pequena dimensão o cálculo é mais eficiente com eliminação de Gauss, os outros métodos podem ser mais eficientes para matrizes esparsas com estruturas particulares; além disso, dão fórmulas que permitem obter a sensitividade do determinante a partir das componentes da matriz.

Se A,B são matrizes nxn, então det AB=(det A)(det B) (prova: se det B≠0, a função definida por f(A)=(det AB)/(det B) satisfaz as 3 condições da definição de det, e como esta é uma função única f(A)=det A ; se det B=0, as linhas de B são linearmente dependentes, e rank B<n , pelo que rank AB≤min{rank A, rank B}<n e, então, as linhas de AB são linearmente dependentes e det AB=0). Se A é matriz quadrada não singular, então det A-1=1/(det A) (prova (det A)(det A-1)=det AA-1=det In=1).

Aplicações de determinantes:

(1) Cálculo de volumes-n de paralelepípedos-n em ℝn: volnP(a1,..., vn)=|d(a1,...,an)| .

(2) Cálculo de volumes-k de paralelepípedos-k em ℝn (k=1,...,n): volkP(a1,..., ak)=(det[aj·ai]i,j=1n,n)1/2=[det(AtA)]1/2 (raiz quadrada da matriz de Gram de (a1,..., ak) no produto interno canónico).

(3) Fórmula para inversa de matriz não singular nxn : A-1=[1/(det A)](cof A)

Observação: para uma matriz genérica que não seja de muito baixa dimensão o cálculo com esta fórmula é computacionalmente muito menos eficiente do que com eliminação de Gauss, mas a fórmula permite obter a sensitividade das componentes da inversa a partir das componentes da matriz e calcular directamente uma componente, além de interesse teórico.