2ª Aula - Revisãoda aula anterior. Comparação com nº de soluções de equações não lineares definidas por funções reais de variável real. Matrizes e operações de matrizes: adição de matrizes, multiplicação de nºs reais por matrizes, produto de matrizes Propriedades agébricas básicas das operações de matrizes.

18 Setembro 2018, 10:00 Luis Magalhães

Revisão: Como o método de eliminação de Gauss é sistemático e simples pode ser programado em computador simplesmente, permitindo resolver sistemas de equações lineares com centenas de milhar ou milhões de equações e incógnitas..Como é sistemático e, portanto, dá os mesmos resutados quem quer que seja que o aplique, pode ser usado para provar propriedades (além de para resolver sistemas de equações lineares obtendo a solução (se existir uma solução única) ou a solução geral (se existirem infinitas soluções por ser indeterminado) de sistemas possíveis). Provou-se o Teorema: Sistemas de m equações com n incógnitas (m,n∈ℕ) tem 0, 1 ou infinitas soluções.

Proposição: Sistemas de equações lineares homogéneos têm 1 ou infinitas soluções, e se têm menos equações do que incógnitas têm infinitas soluções.

Definições: matriz, dimensão de matriz, matriz quadrada, diagonal principal de matriz. Notações para matrizes. 

Adição de matrizes: definição e ilustração geométrica com a relação com a "regra do paralelogramo" para resultante de forças no caso de matrizes coluna com 2 ou três componentes, e com a adição de nºs reais  no caso de 1 componente.

Multiplicação de nºs reais por matrizes: definição e ilustração geométrica com a relação com intensidade e alteração do sentido de forças com a mesma direcção.

Exemplos de adição de matrizes e de multiplicação de nºs reais por matrizes.

Propriedades fundamentais da adição de matrizes: associatividade, comutatividade, existência de zero (elemento neutro da adição), existência de simétricos. O conjunto das matrizes mxn é um grupo comutativo (como os nºs inteiros ou racionais ou reais ou complexos com a adição).

Propriedades fundamentais da multiplicação de nºs reais por matrizes: associatividade, 1A=A , 0A=0 , distributividade em relação à adição (de nºs reais e de matrizes). Observação: não é uma operação binária num conjunto, mas de conjuntos diferentes (nºs reais e matrizes com componentes reais) que dá matrizes com componentes reais.

Definição de produto de matrizes.