12ª Aula - Revisão: Base e dimensão de espaço linear, componentes ou coordenadas de vectores numa base. Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares. Teorema de característica e nulidade para matrizes. Teorema da dimensão. Propriedades gerais de bases de espaço linear de dimensão finita.

11 outubro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Noções de base e dimensão de espaço linear, e de componentes de um vector numa base.

Exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: determinação de bases dos espaços das colunas, das linhas e do núcleo de matriz em escada de linhas.

Determinação de bases dos espaços de linhas, de colunas e nulo de matriz real arbitrária mxn.

Teorema de cardinalidade e nulidade para matrizes A mxn : rank A + nul A = n , ou seja dim R(A) + dim N(A) = n .

Teorema da dimensão: Todo espaço linear V≠{0} tem bases, todas com a mesma cardinalidade, chamada dimensão de V, designada dim V. (dada a prova para caso de dimensão finita).

Continuação de exemplos de bases e dimensão de espaços lineares: espaço das matrizes reais 2x2, espaço das matrizes reais mxn, espaço P_n dos polinómios reais de grau ≤n , com n∈ℕ (dim P_n=n+1), espaço P de todos os polinómios reais (dim P=#ℕ) , espaço C⁰([-1,1],ℝ) das funções reais contínuas definidas no intervalo [-1,1] (dim C⁰([-1,1],ℝ) =∞, mas não obtida a cardinalidade nem identificada uma base).

Propriedades gerais de bases de espaço linear V de dimensão finita (com dimV=n<∞): 

(1) Todo S⊂V linearmente independente está contido numa base de V .

(2) Se S⊂V com #S=n  é linearmente independente, então é uma base de V , 

(3) Se S⊂V com #S=n gera V, então é uma base de V ,