15ª Aula - Planos-k em Rn: subespaços lineares de Rn e equações cartesianas. Geometria das soluções de sistemas de equações lineares. Revisão de números complexos: definição, representação geométrica, propriedades algébricas fundamentais, representação polar, representação geométrica da soma e do produto, potências e raízes inteiras positivas.

18 outubro 2018, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: Rectas, planos e planos-k (ou variedades lineares, ou espaços afins, de dimensão k) em ℝn, k=0,1,...,n: definição e descrição geométrica.

Equações cartesianas de planos-k e relação com núcleo da matriz dos coeficiences de equação cartesiana Ax=b.

Revisão de nºs complexos: definição como conjunto ℂ de pares ordenados de nºs reais com a soma de ℝ² e o produto (a₁,b₁)(a₂,b₂)=(a₁a₂-b₁b₂,a₁b₂+a₂b₁), observação de que as propriedades algébricas desta soma e produto de nºs complexos são as mesmas das da soma e produto de nºs reais (ℂ como ℝ ou ℚ com a soma é um grupo comutativo, e o produto é comutativo, associativo, distributivo em relação à soma, tem elemento neutro (1,0) (a unidade) e cada complexo (a,b)≠0 tem recíproco (a,b)^-1=(a,-b)/(a²+b²) , como para o produto em ℝ ou ℚ ; i.e. são algebricamente corpos). (c,0)(a₁,b₁)=(ca₁,cb₁) pelo que o nº complexo (c,0) identifica-se com o nº real  c  e a multiplicação por escalares de ℝ² está implícita na multiplicação de complexos, representação geométrica dos complexos num plano e da adição de complexos (como em ℝ²). Definição de unidade imaginária i=(0,1) .

Representação polar de nºs complexos (r cos θ , r sin θ ) : módulo, argumento, argumento principal ( θ∈]-π,π] ) . Passagem de representação polar para cartesiana e vice versa. O argumento do produto é a soma dos argumentos das parcelas e o módulo é o produto dos módulos. Determinação gráfica do produto de complexos. Potências inteiras de complexos, raízes inteiras de complexos (cada complexo ≠0 tem k raízes de ordem k∈ℤ), determinação algébrica e gráfica de potências e raízes inteiras positivas de nºs complexos.