Aula teórica 36

31 maio 2007, 12:00 • Pedro Resende

Transformações unitárias e matrizes unitárias. Matrizes unitárias como matrizes de mudança de base entre bases ortonormais. Matrizes ortogonais. Exemplos: rotações e reflexões em R ². Transformações unitárias como transformações lineares que preservam distâncias (isometrias). Os valores próprios duma transformação unitária e a ortogonalidade dos vectores próprios associados a valores próprios distintos. Transformações e matrizes anti-hermitianas. Existência de bases ortonormais de vectores próprios para as matrizes unitárias e para as matrizes anti-hermitianas (enunciado). Caracterização das matrizes (i) hermitianas, (ii) unitárias e (iii) anti-hermitianas como matrizes diagonalizáveis com matriz diagonalizante unitária e valores próprios (i) reais, (ii) de módulo 1 e (iii) imaginários puros, respectivamente. Referência às matrizes normais e à sua caracterização como matrizes diagonalizáveis com matriz diagonalizante unitária.