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Disciplina

Mecânica Geométrica

Área

Área Científica de Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos > Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos

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Nível

Trabalhos de casa (50%) e exame final escrito (50%).

Tipo

Não Estruturante

Regime

Semestral

Carga Horária

1º Semestre

Aula Teórica (T): 3.0 h/semana

Aula de Problemas (PB): 1.5 h/semana

Trabalho Autónomo: 105.0 h/semestre

Créditos ECTS:

Objectivos

Saber calcular a conexão de Levi-Civita de uma variedade Riemanniana e a respectiva curvatura utilizando as equações estruturais de Cartan. Saber definir sistema mecânico numa variedade Riemanniana e calcular as respectivas trajectórias. Conhecer alguns exemplos clássicos de sistemas conservativos, e.g. o corpo rígido com um ponto fixo. Saber identificar vínculos holónomos e não holónomos. Conhecer a geometria de Lorentz, a desigualdade de Schwarz invertida e a relação entre o grupo Lorentz e o grupo de Möbius. Saber escrever a equação de Einstein e resolvê-la em casos simples, e.g. espaço-tempos estacionários. Conhecer o formalismo mecânica lagrangeana em variedades, o formalismo canónico e a equação de Hamilton-Jacobi. Saber definir integrabilidade e coordenadas acção-ângulo. Conhecer o teorema de Liouville e o teorema KAM.

Programa

Elementos de Geometria Diferencial: Variedades diferenciáveis. Conexões e paralelismo. Variedades Riemannianas e conexão de Levi-Civita. Vizinhança tubular. Curvatura e equações estruturais de Cartan. Sistemas Mecânicos em Variedades Riemannianas: Definição e exemplos clássicos. Sistemas com vínculos não holónomos. Sistemas conservativos e dissipativos. Relatividade: Geometria de Lorentz e desigualdade de Schwarz. Relação entre o grupo Lorentz e o grupo de Möbius. Aspectos geométricos da equação de Einstein. Espaço-tempos estacionários. Mecânica Hamiltoniana: Mecânica lagrangeana em variedades. Formalismo canónico e equação de Hamilton-Jacobi. Integrabilidade, teorema de Liouville e coordenadas acção-ângulo. Teorema KAM. Aplicação momento e redução do espaço de fase. O modelo dos vórtices, comportamentos quase-periódico e caótico.