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Disciplina

Equações Diferenciais Parciais

Área

Área Científica de Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos > Equações Diferenciais e Sistemas Dinâmicos

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Nível

Testes/Exame final.

Tipo

Não Estruturante

Regime

Semestral

Carga Horária

1º Semestre

Aula Teórica (T): 3.0 h/semana

Aula de Problemas (PB): 1.5 h/semana

Trabalho Autónomo: 105.0 h/semestre

Créditos ECTS:

Objectivos

Introdução ao estudo das Equações Diferenciais Parciais, incluindo alguns resultados clássicos e as técnicas modernas da Análise Funcional aplicadas ao estudo das equações lineares elípticas de 2ªordem.

Programa

1 As equações diferenciais parciais da Física-Matemática. Exemplos. Problemas variacionais. 2 Introdução às equações elípticas * Equação de Laplace. Princípios de máximo. Problema de Dirichlet. Teoremas da média. Núcleo e formula integral de Poisson. Desigualdade de Harnack. Método de Perron. Equação de Poisson. * Soluções fracas de problemas elípticos. Teoria L2para o problema de Dirichlet para a equação de Poisson, generalização para equações diferenciais parciais lineares elípticas de 2a ordem na forma de divergência, equação das superfícies mínimas. Problema de Dirichlet generalizado, espaços funcionais de Sobolev Wk,p e BV. Teorema de Lax-Milgram, desigualdade de Gärding, resultados sobre compacidade incluindo o teorema de Rellich. Existência de soluções fracas e regularidade de soluções. * Princípios do máximo para equações lineares elípticas de 2a ordem. 3 Introdução a equações de evolução * Equações e sistemas diferenciais parciais de 1a ordem. Características e equações características. Existência e unicidade locais. Exemplos. Equações diferenciais parciais lineares hiperbólicas de 2a ordem e sua redução a um sistema de 1a ordem. * Discussão do problema de Cauchy para equações de ordem superior: resultados "gerais", exemplos e contra-exemplos relativos a existência, unicidade e dependência contínua. * Equação das ondas. O problema de Cauchy. Estimativas de energia e unicidade. Método das médias esféricas. * Equação do calor. Princípio do máximo. Núcleo de Gauss. * Princípios do máximo para equações lineares parabólicas de 2a ordem.