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Cálculo Diferencial e Integral II (2 º Sem 2007/2008)

LEMat , LQ , MEBiol , MEQ

Summaries

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06/06/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP13-6a

Exercícios da ficha 7 sobre o cálculo de integrais de fluxo através do teorema de Stokes.
Updated 09/06/2008 14:00 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 37

06/06/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT54

Revisões, principalmente parametrizações de superfícies com simetria cilíndrica, fórmulas para o momento de inércia, integrais de campos vectoriais em variedades.
Updated 09/06/2008 13:58 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

04/06/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT53

Revisões, principalmente parametrizações e integrais em variedades pela definição.
Updated 04/06/2008 18:58 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 90

03/06/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT52

Revisões, principalmente cortes e mudanças de coordenadas.
Updated 04/06/2008 18:57 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

02/06/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP13

Exercícios da ficha 7 sobre o cálculo de integrais de fluxo através do teorema de Stokes.
Updated 03/06/2008 00:09 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 37

02/06/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 14

Resolução de exercícios da Ficha 7 -- Teorema de Stokes, campos rotacionais e potenciais vectores.
Updated 03/06/2008 14:19 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students not counted.

02/06/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT51

Exemplo do campo radial de quadrado inverso cuja divergência é zero, mas que não é o rotacional de um potencial vectorial A. Condição suficiente para F ser o rotacional de A: F está definido num domínio em estrela. Breve discussão da topologia, e como distingue a esfera do toro. Clarificação da noção de fronteira de uma 2-variedade em R^3. Formulação do teorema de divergência em R^n. Aplicação do teorema de Green para calcular a área de um domínio, e exemplo de uma fórmula para a área de um polígono planar em termos das coordenadas dos seus vértices.

Updated 03/06/2008 00:05 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 80

30/05/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP12-6a

Exercícios da ficha 7 sobre o teorema de Green e o cálculo de integrais de fluxo pela definição e através do teorema da divergência. Exercícios relevantes: 1,2; 5,6,7; 12,13,14 (alíneas a) e b)).
Updated 03/06/2008 00:06 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 37

30/05/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT50

Uso do Teorema de Stokes para calcular o fluxo de F atraves de uma superficie. Condiçao necessária: div F = 0. Cálculo do potencial vectorial A, tal que F = rot A. Discussão sobre a relação entre diferentes potenciais vectoriais.
Updated 02/06/2008 23:56 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 80

28/05/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT49

O Teorema de Green como caso particular do Teorema de Stokes. Exemplo da aplicação do teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional de F através de uma superfície. Introdução ao uso do Teorema de Stokes para calcular o fluxo de F através de uma superfície, quando F é o rotacional de um potencial vectorial A, e a condição necessária que a divergência de F se anula.

Updated 28/05/2008 18:49 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

27/05/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT48

Teorema de Stokes. Observações sobre o teorema, e discussão sobre várias maneiras de descrever a compatibilidade das orientações da superfície e da sua fronteira. Exemplo da aplicação do Teorema de Stokes para calcular um integral de linha de campo vectorial ao longo de um rectângulo em R^3.
Updated 28/05/2008 18:48 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 90

26/05/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP12

Exercícios da ficha 7 sobre o teorema de Green e o cálculo de integrais de fluxo pela definição e através do teorema da divergência. Exercícios relevantes: 1,2; 5,6,7; 12,13,14 (alíneas a) e b)).
Updated 26/05/2008 18:10 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 38

26/05/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 13

Resolução de exercícios da Ficha 7 -- Teorema de Green, cálculo do fluxo pela definição, teorema da divergência.
Updated 28/05/2008 08:34 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students not counted.

26/05/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT47

Cálculo do fluxo do campo F(x,y,z) = (x,y,z) através de uma esfera de raio a centrada na origem de R^3, de duas maneiras alternativas à abordagem da aula 45 (que era pela definição do integral de superfície do campo vectorial F). 1) usando a definição, mas considerando o integral como integral de campo escalar e usando uma fórmula geométrica para a área de uma esfera de raio a; 2) pelo teorema da divergência, usando uma fórmula geométrica para o volume de uma bola de raio a. Discussão da demonstração do teorema da divergência. Observação sobre as analogias entre o teorema de Green, teorema da divergência, e teorem fundamental dos integrais de trabalho. Versão mais geral do teorema da divergência para um domínio 3D com um ou mais buracos interiores 3D. Teorema de Gauss para o caso do campo radial de quadrado inverso.
Updated 26/05/2008 18:08 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 90

23/05/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP11-6a

Exercícios da ficha 6 sobre integrais de campos vectoriais em 1-variedades, e campos gradientes.
Updated 23/05/2008 17:59 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 39

23/05/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT46

Integrais de fluxo para 2-variedades em R^3, discussão do domínio da parametrização e exemplo do caso particular da 2-variedade ser o gráfico em R^3 de uma função f(x,y), definida num domínio de R^2. Teorema da divergência e indicações sobre o enunciado (normal exterior no integral de fluxo, divergência de um campo vectorial, domínio regular em R^3). Exemplo da aplicação do teorema a uma superfície aberta, onde é necessário introduzir uma tampa.

Updated 23/05/2008 17:57 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 80

21/05/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT45

Integrais de fluxo para 2-variedades em R3. Noção física de fluxo. Fórmula para integrais de fluxo em termos de uma parametrização. Exemplo do fluxo de um campo vectorial através de uma esfera. Orientação e noção de variedade orientável.
Updated 21/05/2008 17:01 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 75

20/05/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT44

Teorema de Green para domínios simplesmente conexos. Exemplo. Domínios elementares e regulares, e indicações sobre a demonstração. Teorema de Green para domínios não simplesmente conexos, e uma outra perspectiva para entender as propriedades de integrais de linha de campos vectoriais fechados no plano.

Updated 21/05/2008 11:23 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 75

19/05/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP11

Exercícios da ficha 6 sobre integrais de campos vectoriais em 1-variedades, e campos gradientes.
Updated 19/05/2008 17:56 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 40

19/05/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 12

Resolução de exercícios da Ficha 6 -- Integrais de campos vectoriais em variedades-1, campos gradientes.
Updated 20/05/2008 08:21 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students not counted.

19/05/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT43

Observações sobre a demonstração dos teoremas: F fechado num domínio em estrela / simplesmente conexo é gradiente nesse domínio. Exemplo sobre o uso deste e outros resultados para o cálculo indirecto de integrais de linha de campos vectoriais fechados mas não gradientes: exercício 3 da ficha 7 de exercícios propostos. Exercício para estudar em casa: exercício 11 da ficha 7 de exercícios propostos.
Updated 19/05/2008 17:54 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 90

16/05/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP10-6a

Exercícios da ficha 6 sobre integrais de campos escalares em 1- e 2-variedades.
Updated 16/05/2008 20:03 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 46

16/05/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT42

Invariância de integrais de linha de campos vectoriais fechados sob deformação contínua de linhas, noção de caminhos homotópicos. Exemplo do integral de linha num elipse do campo "ralo da banheira". Noção de domínio convexo, domínio em estrela e domínio simplesmente conexo, e teorema sobre um campo vectorial F fechado num domínio simplesmente conexo ser gradiente nesse domínio.
Updated 16/05/2008 20:10 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 80

14/05/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT41

Extensão dos conceitos com a noção de integral de um campo vectorial ao longo de um caminho, representado por uma função de uma variável com valores em R^n, diferenciável por troços, e não necessariamente injectiva. Propriedades dos integrais de linha de campos vectoriais: aditividade em relação a junção de dois caminhos; o integral de F ao longo do caminho inverso -C é o simétrico do integral de F ao longo do caminho C; os integrais de F em termos de duas parametrizações diferentes do mesmo caminho com o mesmo sentido são iguais. Exemplo do cálculo de um potencial escalar para um campo vectorial. Discussão do campo "ralo da banheira" centrado na origem do plano Oxy: um campo fechado, mas não gradiente no seu domínio. Cálculo do integral de linha desse campo ao longo de uma circumferência de raio arbitrário centrada na origem, e observção que o valor é não-nulo e não depende do raio.
Updated 14/05/2008 16:31 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

13/05/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT40

Campos vectoriais, definição e exemplos. Campos gradientes, noção de um potencial escalar para um campo gradiente, e campos fechados. Proposição dizendo que um campo gradiente é fechado, e observação que o recíproco é falso. Discussão sobre a noção de trabalho e definição do integral de trabalho (ou seja, do integral de um campo vectorial numa 1-variedade). Cálculo de exemplos com o campo F(x,y) = (y,x), em várias linhas começando em (0,0) e terminando em (1,1). Observação que o valor desses integrais é sempre igual a 1. Teorema fundamental dos integrais de trabalho (o integral de trabalho de um campo gradiente é o valor da função potencial no ponto final menos o valor da função potencial no ponto inicial, qualquer que seja a linha entre esses pontos) e explicação da observação anterior, sendo F(x,y) = (y,x) um campo gradiente.
Updated 13/05/2008 16:42 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 70

12/05/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP10

Exercícios da ficha 6 sobre integrais de campos escalares em 1- e 2-variedades.
Updated 13/05/2008 16:38 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 40

12/05/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 11

Resolução de exercícios da Ficha 6 -- Integrais de funções escalres em variedades.
Updated 15/05/2008 14:08 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students not counted.

12/05/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT39

Exemplo do cálculo do momento de inércia de uma superfície usando uma parametrização com as coordenadas cilíndricas z e teta. Integrais de campos escalares em variedades de dimensão p. Observação que a definição só depende da variedade, não da parametrização escolhida (prova na página da cadeira). Fórmula alternativa para o factor raíz quadrada e interpretação como teorema de Pitágoras generalizado.
Updated 13/05/2008 16:39 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 90

09/05/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP9-6a

Exercícios da ficha 5 sobre mudanças de coordenadas em integrais múltiplos.
Updated 10/05/2008 17:58 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 40

09/05/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT38

Integrais de campos escalares em 2-variedades em R^3. Definição em termos de uma parametrização da variedade. Observações sobre o factor raíz quadrada, outras expressões para esse factor e exemplos. Caso especial da área de um gráfico de uma função de duas variáveis. Exemplo e exercício com o cálculo da massa e do momento de inércia de uma superfície com distribuição de massa dada por uma função, usando duas coordenadas cilíndricas como parâmetros.
Updated 10/05/2008 18:02 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

07/05/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT37

Interpretação de parametrizações: exemplos hélice, cicloide. Estatégias para parametrizar 1-variedades e exemplos. Fórmula para o comprimento de uma curva dada na forma de r em função de teta (coordenadas polares).
Updated 10/05/2008 18:01 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 75

06/05/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT36

Integrais de campos escalares em 1-variedades. Definição em termos de uma parametrização da variedade. Interpretação geométrica no caso de uma 1-variedade em R^2. Caso especial do comprimento de um gráfico de uma função de uma variável. Aplicações físicas: massa, centro de massa e momento de inércia de um fio com distribuição de massa dada por uma função.
Updated 10/05/2008 18:00 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 75

05/05/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 10

Resolução de exercícios da Ficha 5 -- Mudança de coordenadas.
Updated 06/05/2008 14:15 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students not counted.

05/05/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP9

Exercícios da ficha 5 sobre mudanças de coordenadas em integrais múltiplos.
Updated 10/05/2008 17:58 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 40

05/05/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT35

Mudanças de coordenadas. Exemplo de uma mudança de coordenadas linear. Observações sobre o papel geométrico do factor extra (módulo do Jacobeano). Aplicação ao cálculo do integral impróprio de e^(-x^2) no eixo real, mediante uma mudança de coordenadas para coordenadas polares.
Updated 10/05/2008 17:56 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

02/05/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP8-6a

Exercícios da ficha 5 sobre integrais múltiplos, cortes e mudança da ordem de integração.
Updated 02/05/2008 18:28 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 37

02/05/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT34

Comentários sobre mudanças de coordenadas em integrais múltiplos (o papel do módulo e a interpretação do Jacobeano no factor extra, a inversa da mudança de coordenadas). Mudança de coordenadas para coordenadas cilíndricas e esféricas em dimensão 3, e exemplos.
Updated 10/05/2008 17:57 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 60

30/04/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT33

Integrais múltiplos motivados pela física: momento de inércia. Mudanças de coordenadas em integrais múltiplos. Comparação com substituições em integrais simples. Exemplo da mudança para coordenadas polares. Definição de mudanças de coordenadas. Teorema sobre mudanças de coordenadas em integrais múltiplos.
Updated 30/04/2008 18:05 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 80

29/04/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT32

Propriedades dos integrais, aditividade, linearidade, monotonicidade, "desigualdade triangular". Integrais múltiplos motivados pela física: massa de uma placa bidimensional ou corpo rígido em termos de uma função de densidade de massa; centro de massa; centróide.
Updated 30/04/2008 18:04 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 75

28/04/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP8

Exercícios da ficha 5 sobre integrais múltiplos, cortes e mudança da ordem de integração.
Updated 06/05/2008 12:17 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 40

28/04/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 9

Resolução de exercícios da Ficha 5 -- Integrais múltiplos (Teorema de Fubini).
Updated 06/05/2008 14:12 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students not counted.

28/04/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT31

Teorema de Fubini e regiões de integração não-rectangulares. Mudança de ordem de integração. Cortes no exemplo de um sólido.
Updated 30/04/2008 18:02 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 80

23/04/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT30

Exemplo do integral de uma função definida numa região no plano que não é intervalo. Exemplos de mudança de ordem de integração. Cortes. Cálculo do volume de um cilindro usando cortes 3D.
Updated 28/04/2008 00:06 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 80

22/04/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT29

Interpretação geométrica de integrais de funções em escada. Integral de Riemann para funções de uma variável, e generalização para integrais múltiplos. Resultados sobre funções integráveis num intervalo fechado: funões contínuas; funções contínuas excepto na união finita de gráficos de funções contínuas. Teorema de Fubini.

Updated 27/04/2008 23:53 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

21/04/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 8

Esboços de conjuntos em R 3 e respectivos cortes em R 2 de exercícios da Ficha 5.
Updated 23/04/2008 08:30 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students not counted.

21/04/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP7,5

Exercícios sobre cortes da ficha 5.
Updated 27/04/2008 23:48 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 20

21/04/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT28

Introdução aos integrais múltiplos. Princípio de Cavalieri e exemplo ilustrando o teorema de Fubini. Funções em escada e integrais de funções em escada.
Updated 27/04/2008 23:46 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 80

18/04/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP7-6a

Exercícios da ficha 4 sobre variedades, espaço tangente e espaço normal a uma variedade num ponto, método dos multiplicadores de Lagrange para extremos condicionados.
Updated 18/04/2008 19:50 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 50

18/04/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT27

Revisões, limite, continuidade, diferenciabilidade. Breve referência a alguns pontos da matéria omitidos: notação o, O; conjuntos conexos e desconexos; teorema do valor intermédio.
Updated 18/04/2008 19:52 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 75

16/04/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT26

Revisões, variedades e espaço tangente/normal.
Updated 18/04/2008 19:52 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 80

15/04/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT25

Revisões, variedades e Teorema da Função Implícita.
Updated 18/04/2008 19:51 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 75

14/04/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 7

Resolução deexercícios da Ficha 4 -- Variedades, espaços tangentes e normais, extremos condicionados.

Updated 15/04/2008 17:10 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students not counted.

14/04/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP7

Exercícios da ficha 4 sobre variedades, espaço tangente e espaço normal a uma variedade num ponto, método dos multiplicadores de Lagrange para extremos condicionados.
Updated 18/04/2008 19:50 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 40

14/04/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT24

Extremos condicionados. Método dos multiplicadores de Lagrange.
Updated 18/04/2008 19:49 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 80

11/04/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP6-6a

Exercícios da ficha 3 sobre o teorema da função inversa e o teorema da função implícita.
Updated 18/04/2008 19:49 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 45

11/04/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT23

Espaço tangente e espaço normal a uma variedade num ponto. Início dos extremos condicionados.
Updated 18/04/2008 19:47 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 90

09/04/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT22

Exemplos de variedades e conjuntos que não são variedades. Gráficos e parametrizações locais resultantes do teorema da função implícita. Introdução ao espaço tangente de uma variedade num ponto.
Updated 09/04/2008 17:47 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 70

08/04/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT21

Variedades, noção intuitiva, exemplos e o papel do teorema da função implícita. Definição de variedades como conjuntos de nível de uma função de classe C^1 satisfazendo uma condição na matriz derivada da função.
Updated 09/04/2008 17:46 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 80

07/04/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP6

Exercícios da ficha 3 sobre o teorema da função inversa e o teorema da função implícita.
Updated 09/04/2008 17:46 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 40

07/04/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 6

Resolução de exercícios da Ficha 3 -- Teorema da Função Inversa e Teorema da Função Implícita.
Updated 14/04/2008 12:49 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students not counted.

07/04/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT20

Teorema da função implícita para funções de n variáveis com valores em R^(n-p). Exemplo do teorema da função inversa como caso particular do teorema da função implícita.
Updated 09/04/2008 17:44 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 90

04/04/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP5 - 6a

Exercícios sobre pesquisa de extremos para funções em R^n e derivadas de ordem superior em combinação com funções compostas da ficha 3.
Updated 04/04/2008 18:08 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 45

04/04/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT19

Teorema da função implícita para funções reais de n variáveis. Exemplo e primeira discussão do caso mais geral com funções com valores em R^(n-p), n-p > 1. Derivação implícita de equações e fórmulas para as derivadas da função implícita.


Updated 04/04/2008 18:07 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

02/04/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT18

Teorema da função inversa. Introdução ao teorema da função implícita e primeira versão do teorema para uma função de duas variáveis.
Updated 03/04/2008 11:47 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

01/04/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT17

Fórmula de Taylor, exemplos, o termo do resto e o Teorema de Lagrange. Teorema da função inversa, primeira discussão.
Updated 03/04/2008 11:46 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

31/03/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 5

Resolução de exercícios da Ficha 3 -- derivadas de ordem superior e extremos.
Updated 03/04/2008 09:03 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students not counted.

31/03/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP5

Exercícios sobre pesquisa de extremos para funções em R^n e derivadas de ordem superior em combinação com funções compostas da ficha 3.

Updated 03/04/2008 11:48 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 40

31/03/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT16

Fórmula de Taylor para funções de n variáveis.
Updated 03/04/2008 11:41 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

28/03/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP4 - 6a

Exercícios sobre diferenciabilidade e derivadas de funções compostas da ficha 2.
Updated 28/03/2008 20:08 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 47

28/03/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT15

Continuação de pesquisa de extremos usando cálculo diferencial. Critérios para máximo e mínimo local para funções de n variáveis.

Updated 28/03/2008 20:06 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

19/03/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT14

Pesquisa de extremos para funções em R^2 usando cálculo diferencial. Pontos críticos. Matriz Hessiana. Critério para máximo e mínimo local para funções de duas variáveis.

Updated 28/03/2008 20:02 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 90

18/03/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT13

Derivadas parciais de ordem superior e exemplos com derivadas cruzadas iguais e diferentes. Introdução aos extremos de funções reais em R^n.

Updated 28/03/2008 20:04 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 85

17/03/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 4

Resolução de exercícios da Ficha 2 -- diferenciabilidade e derivada da função composta.
Updated 18/03/2008 13:47 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students not counted.

17/03/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP4

Exercícios sobre diferenciabilidade e derivadas de funções compostas da ficha 2.

Updated 28/03/2008 20:03 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 40

17/03/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT12

Continuação do teorema da função composta, e exemplo. Aplicação à interpretação geométrica de algumas matrizes derivadas (vector tangente a uma curva, gradiente).
Updated 28/03/2008 19:54 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 95

14/03/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP3 - 6a

Exercícios da ficha 2 sobre derivadas parciais, direccionais e derivadas segundo um vector.
Updated 14/03/2008 18:05 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 47

14/03/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT11

Critérios para concluir que uma função não é diferenciável num ponto: 1) a não-existência de uma derivada parcial ou de uma derivada segundo um vector; 2) a relação entre a derivada segundo v e o produto interno entre Df no ponto e v, não se verifica; 3) a função não é contínua no ponto. Exemplos.

Teorema da derivação de uma função composta. Discussão, formulação e um primeiro exemplo.

Updated 14/03/2008 15:27 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 90

12/03/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT10

Critérios para distinguir funções diferenciáveis num domínio: 1) a função é de classe C^1 no domínio; 2) a função é obtida de funções diferenciáveis pelas operações de adição, multiplicação, divisão ou composição com uma função diferenciável de uma variável. Exemplos de funções diferenciáveis.

Propriedades de funções diferenciáveis num ponto.

Updated 14/03/2008 15:27 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 95

11/03/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT9

Continuação da discussão de funções diferenciáveis num ponto. Exemplos de funções diferenciáveis p(x,y) = x, q(x,y) = y, funções constantes.

Updated 14/03/2008 15:27 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 95

10/03/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 3

Resolução de exercícios sobre limites e continuidade da ficha http://www.math.ist.utl.pt/~jpinto/amii2006/ficha5.pdf

Resolução de exercícios da Ficha 2 -- derivadas parciais, matriz Jacobiana, derivadas direccionais

Updated 12/03/2008 09:23 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students not counted.

10/03/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP3

Exercícios da ficha 2 sobre derivadas parciais, direccionais e derivadas segundo um vector.
Updated 14/03/2008 18:05 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 40

10/03/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT8

Exemplos de derivadas segundo um vector e derivadas direccionais. Primeiras noções da diferenciabilidade.

Updated 14/03/2008 15:26 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 95

07/03/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP2 - 6ª

Exercícios sobre limites e continuidade.
Updated 13/03/2008 14:19 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students not counted.

07/03/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

ATnulo

Não havia aula.
Updated 14/03/2008 12:13 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students not counted.

05/03/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT7

Cálculo diferencial em R^n - introdução. Derivadas parciais. Matriz Jacobiana/derivada e gradiente. Interpretação geométrica das derivadas parciais para funções de duas variáveis. Derivadas segundo um vector e derivadas direccionais.

Updated 14/03/2008 15:26 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 95

04/03/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT6

Propriedades algébricas dos limites. Continuidade num domínio. Aplicações das funções contínuas: 1) detectar conjuntos fechados e abertos, 2) uma função contínua definida num domínio compacto tem imagem compacta, e o caso particular do Teorema de Weierstrass sobre a existência de um máximo e um mínimo para uma função real contínua definida num domínio compacto de R^n.

Updated 14/03/2008 15:26 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 95

03/03/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 2

Resolução de exercícios da Ficha 1 -- topologia e limites em R n.
Updated 04/03/2008 08:17 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students 47

03/03/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP2

Exercícios sobre topologia, e limites e continuidade.
Updated 13/03/2008 14:18 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 41

03/03/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT5

Limites relativos a subconjuntos. Exemplos sobre como mostrar a não-existência do limite num ponto.

Updated 14/03/2008 15:25 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 95

29/02/2008 16:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP1 - 6ª

Exercícios sobre conjuntos em R^2 e R^3, cortes, e topologia.
Updated 13/03/2008 14:16 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 42

29/02/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT4

Continuação de limites e continuidade de funções em R^n. Critério para a existência do limite num ponto.

Updated 14/03/2008 15:25 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 100

27/02/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT3

Noções topológicas em R^n: conjuntos limitados, conjuntos compactos. Topologia e sucessões. Limites e continuidade de funções em R^n, 1ª abordagem.

Updated 14/03/2008 15:25 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students not counted.

26/02/2008 14:00 (Room QA02.3) Lesson Theoretical

AT2

Desigualdades envolvendo a norma de um vector e os módulos das suas componentes. Noções topológicas em R^n: pontos interiores, pontos exteriores, e pontos fronteira de um subconjunto de R^n; conjuntos abertos, conjuntos fechados.

Updated 14/03/2008 15:24 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 110

25/02/2008 15:00 (Room Gab. Docente) Lesson Problems

Aula 1

Resolução de exercícios da Ficha 1 -- esboço e cortes de conjuntos em R 2 e R 3.

Updated 28/02/2008 14:32 Prof. Maria Joana Mendes Bordalo Ventura Number of attending students 42

25/02/2008 15:00 (Room Q4.2) Lesson Problems

AP1

Exercícios sobre conjuntos em R^2 e R^3, e cortes.
Updated 13/03/2008 14:14 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 41

25/02/2008 14:00 (Room QA02.4) Lesson Theoretical

AT1

Apresentação. Estrutura linear em R^n. Produto interno, norma e distância em R^n.

Updated 14/03/2008 15:24 Prof. Roger Francis Picken Number of attending students 115