Programa

Tópicos de Teoria de Operadores

Diploma de Estudos Avançados em Matemática

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Operadores de Fredholm e álgebra de Calkin: Operadores normalmente solúveis. Caracterização dos operadores de Fredholm. Perturbação de operadores de Fredholm e propriedades do índice. Operadores de semi-Fredholm e inversão generalizada de operadores. O operador integral singular de Cauchy: Perspectiva clássica e o operador integral singular de Cauchy em espaços de Lebesgue. Principais propriedades. Generalizações a espaços com peso e a sistemas de curvas. Os operadores de projecção de Cauchy em Lp. O transposto do operador integral singular de Cauchy. Operadores de Toeplitz e a teoria da factorização: Conceito de factorização. Operador integral singular com coeficientes racionais. Operador de Toeplitz com símbolo contínuo. Factorização em álgebras de Banach decomponíveis. Factorização generalizada de funções. Generalização dos resultados de factorização ao caso matricial. Factorização AP. A teoria de Fredhom de operadores de Toeplitz. Introdução à teoria de Gelfand e generalização a álgebras não comutativas: A transformação de Gelfand e algumas das suas aplicações. Princípios de localização. Álgebras-PI. Introdução ao método das trajectórias locais. Invertibilidade em álgebras de Toeplitz com operadores de deslocamento: Aplicação do teorema dos dois idempotentes à invertibilidade na algebra gerada por o operador singular de Cauchy e os operadores de multiplicação por funções seccionalmente contínuas. A álgebra gerada por operadores de Toeplitz e Hankel. A localização em órbitras e a invertibilidade para uma classe de álgebras C* com operadores de deslocamento.