Programa

Grupos, Anéis e Módulos

Mestrado Bolonha em Matemática Aplicada e Computação

Programa

Categorias: Produtos e coprodutos, igualadores e co-igualadores. Functores, categorias concretas e objectos livres. Isomorfismo de objectos que têm a mesma propriedade universal. Grupos: Subgrupos, subgrupos normais; isomorfismos. Grupos quociente, isomorfismos canónicos. Acções de grupos; teoremas de Sylow. Grupos livres, geradores e relações. Anéis: Subanéis, ideais e anéis quociente. Anéis de polinómios, fracções, domínios de factorização única, domínios de ideais principais, domínios euclidianos. Módulos: Módulos finitamente gerados e módulos livres. Produto tensorial. Sucessões exactas, Hom e dualidade. Módulos sobre domínios integrais e sobre domínios de ideais principais. Aplicações: classificação de grupos abelianos finitamente gerados, forma canónica de Jordan. Representações de grupos finitos: Acções lineares e anéis de grupos. Caracteres e relações de ortogonalidade. Exemplos e aplicações.

Módulos e Representações

Mestrado Bolonha em Matemática Aplicada e Computação

Programa

Categorias: produtos e coprodutos, igualadores e co-igualadores; functores, categorias concretas e objectos livres; isomorfismo de objectos que têm a mesma propriedade universal. Módulos: noções gerais e exemplos. Álgebra linear sobre anéis comutativos e domínios integrais: representação de homomorfismos de módulos livres por matrizes; determinantes e matrizes inversas. Forma normal de Smith. Classificação dos módulos finitamente gerados sobre domínios de ideais principais. Classificação dos grupos abelianos finitamente gerados. Formas canónicas racional e de Jordan. Bimódulos, produto tensorial, Hom e dualidade. Sucessões exatas, "short-five lemma", módulos projetivos, injetivos e planos. Módulos simples e semisimples. Anéis semisimples. Álgebras. Módulos sobre álgebras. Teorema de Artin-Wedderburn para álgebras semisimples. Representações de quivers, grupos finitos e álgebras de Lie, incluindo o exemplo de sl2(C). Tabelas de caracteres. Relações de ortogonalidade e consequências.