Planeamento

Aulas Teóricas

Aula 1

Informações sobre o funcionamento da disciplina no ano lectivo de 2009/10. Objecto de estudo da matemática computacional e programa do curso.

Aula 2

Representação de números em sistemas de vírgula flutuante. Exemplos. Arredondamento. Erro de arredondamento. Definição de unidade de arredondamento de um sistema. Propagação dos erros de arredondamento nas operações aritméticas. Cancelamento subtractivo.

Aula 3

Definição de raiz de uma equação. Multiplicidade de uma raiz, exemplos. Teorema de Bolzano. Corolário do teorema de Rolle sobre a unicidade de raiz num certo intervalo. Exemplo de aplicação. Método da bissecção: descrição, estimativa do erro.

Aula 4

Definição de ponto fixo de uma função de uma variável real. Exemplos. Sucessões de números geradas pela iteração de uma função. Exemplos.Teorema sobre o limite de uma sucessão gerada pela iteração de uma função contínua. Teorema do ponto fixo para funções de uma variável real.

Aula 5

Estimativas do erro do método do ponto fixo. Exemplo de aplicação. Classificação dos pontos fixos: atractores e repulsores. Exemplos.Monotonia das iteradas do método do ponto fixo.

Aula 6

Casos de divergência do método do ponto fixo. Definição de convergência linear, exemplos. Definição de ordem de convergência no caso geral, exemplos. Teorema sobre a ordem de convergência do método do ponto fixo.

Aula 7

Interpretação geométrica do método de Newton. Dedução da fórmula iteradora. Estimativa do erro. Exemplo de aplicação. Ordem de convergência do método de Newton.



Aula 8

Condições suficientes de convergência do método de Newton. Exemplos de casos em que o método de Newton não converge. Método da secante: interpretação geométrica, dedução da fórmula iteradora, estimativa do erro. Exemplo de aplicação.

Aula 9

Condições suficientes de convergência do método da secante. Ordem de convergência.

Realização de mini-teste sobre a matéria das aulas 2 a 8.


Aula 10

Normas matriciais, condicionamento.

Aula 11

Métodos iterativos para sistemas de equações lineares: forma geral, dedução das fórmulas iteradoras dos métodos de jacobi e de Gauss-Seidel. Exemplos de aplicação. Forma matricial das fórmulas dos métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, definiçãoda matriz de iteração.


Aula 12

Convergência dos métodos iterativos para sistemas lineares. Critérios de convergência baseados na norma e no raio espectral da matriz de iteração. Convergência dos métodos iterativos no caso de matrizes com a diagonal estritamente dominante (por linhas ou por colunas). Exemplos de aplicação. Método SOR: definição da matriz de iteração, fórmula iterdora, critério de convergência.

Aula 13

Métodos numéricos para sistemas não-lineares: teorema do ponto fixo, método do ponto fixo, exemplo de aplicação. Método de Newton: descrição, exemplo.

Aula 15

Exemplo de aplicação do método de Lagrange.  Diferenças divididas: definição, dedução da fórmula de recorrência. Fórmula interpoladora de Newton. Exemplo de aplicação.

Aula 16

Relação entre as diferenças divididas e as derivadas de uma função. Estimativa do erro de interpolação. Exemplo de aplicação.