Anéis, domínios integrais e corpos

25 setembro 2007, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Secção 1.5: Anéis, domínios integrais e corpos

Definição, alguns exemplos típicos, incluindo os inteiros de Gauss. Anéis unitários, anéis abelianos.

Propriedades elementares, o grupo dos elementos invertíveis num anel unitário. Lei do corte para o produto. Domínios integrais, anéis de divisão, corpos.

Subanéis, extensões, somas directas de anéis.

Não se realizou

24 setembro 2007, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Aula não realizada a pedido dos alunos. Substituída por aula extraordinária a 26/9/2007.

Homomorfismos e Isomorfismos

20 setembro 2007, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Conclusão da secção 1.4: Homomorfismos e Isomorfismos

O problema da "classificação" de estruturas algébricas, alguns exemplos simples.

Exercícios das pp. 26 - 28: 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, incluindo referências a grupos de automorfismos (7, 8) e o teorema de Cayley (que é o exercício 13).

Homomorfismos e Isomorfismos

18 setembro 2007, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

A finalizar a secção 1.3: Exercício 9 da p. 19.

Secção 1.4 Homomorfismos e Isomorfismos

Homomorfismos, Isomorfismos, o exemplo da função logaritmo, outros exemplos clássicos (função exponencial, potências, determinante).

Propriedades elementares de homomorfismos de grupos: a imagem do elemento neutro, e de elementos opostos.

Equações homogéneas e não-homogéneas, da forma y = f(x). Núcleo e imagem de um homomorfismo de grupos. Injectividade ocorre quando o núcleo tem um único elemento. Solução geral de equações não-homogéneas. Homomorfismos sobrejectivos: número de elementos do grupo de chegada é factor do número de elementos do grupo de partida.

Subgrupos normais, o exemplo dos grupos alternados.

Grupos de Permutações

17 setembro 2007, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Secção 1.3 Permutações:

Permutações, o grupo simétrico Sn das permutações em n símbolos.

Ciclos, transposições, decomposição de permutações em produtos de ciclos, e em produtos de transposições. Paridade e sinal de permutações, o grupo alternado das permutações pares em n símbolos.

Exercícios da secção 1.3 (p. 19): 1, 2, 6, 7, 8.