Axiomática dos Inteiros

4 outubro 2007, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Referência ao exercício 10 da p. 58 (transformações ortogonais em Rn).

Secção 2.1: Axiomática dos Inteiros

Os inteiros enquanton exemplo de domínio integral. Axiomáticas completas e não-contraditórias. A definição de números naturais. N como o menor conjunto indutivo em Z. Propriedades de N, o princípio da indução finita, fecho de N relativamente à soma e ao produto.

Referências a Peano, Hilbert, Godel, Turing e Von Neumann.

Exercícios da p. 65: 4

Simetrias

2 outubro 2007, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Secção 1.8: Simetrias

Simetrias do triângulo equilátero e do quadrado. Simetrias do polígono regular de n lados, o grupo diedral Dn, subgrupos e tabuada.

Isometrias do espaço, grupo euclidiano, transformações ortogonais, rotações e reflexões.

O caso de um reticulado ilimitado, as rotações "especiais" de 60, 90, 120 e 180 graus.

Exercícios das pp. 57-58: 1, 4, 7, 8.

Os Quaterniões

1 outubro 2007, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Breve história da descoberta dos quaterniões (também ditos os "números de Hamilton"). O produto de quaterniões, os quaterniões enquanto subanel das matrizes complexas 2x2, ou do anel das matrizes reais 4x4. Os quaterniões como exemplo de anel de divisão não comutativo. Os inteiros de Hamilton, e o grupo dos inteiros de Hamilton invertíveis.

Exercícios das pp. 45-46: 6, 7, 8, 9

Simetrias de um rectângulo: o que são, porque formam um grupo.

Homomorfismos e Isomorfismos de anéis

27 setembro 2007, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Conclusão da secção 1.6, Homomorfismos e isomorfismos de anéis.

Propriedades de homomorfismos de anéis, equações homogéneas e não-homogéneas, núcleo e imagem de um homomorfismo de anel.

Ideais, o núcleo enquanto exemplo de ideal.

Exercícios da secção 1.6, pp. 43-45: 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17; exercício 7 e) da p. 36.

Anéis, domínios integrais e corpos

26 setembro 2007, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Exercícios da secção 1.5, pp. 35-37: 1, c), f), 4, 8, 9, 10, 11, 17, 19.

Secção 1.6: Homomorfismos e Isomorfismos de anéis

Definição, alguns exemplos