Factores, múltiplos e divisão

16 outubro 2007, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Secção 2.5: Factores, múltiplos e divisão

Factores e múltiplos em qualquer anel abeliano. O caso dos inteiros, MDC e MMC de números naturais.

Números primos, coprimos.

A divisão no anel dos inteiros, quociente e resto, existência e unicidade.

Exercícios da p. 88: 8, 9, 10.

Secção 2.6: Ideais e o algoritmo de Euclides

As equações "diofantinas" da forma ax + by = c. O conjunto dos números da forma ax+by como um ideal de Z, qualquer ideal de Z reduz-se ao conjunto dos múltiplos de um dado inteiro.

Exemplo: a identidade <21,30> = <3>.

Indução, potências, múltiplos

15 outubro 2007, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Algumas definições por indução, propriedades básicas de potências; multiplicação de elementos de um ggrupo abeliano por inteiros. O homomorfismo de anéis f(n) = nI.

Exercícios das pp. 82-84: 8, 9, 10.

Princípio de Indução Finita

11 outubro 2007, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Diversas formas do princípio da indução finita, incluindo o princípio da boa ordenação.

Definições por indução, recursividade. O paradoxo de Russell.

Exercícios das pp. 77-78: 4

Desigualdades

9 outubro 2007, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

ainda da secção 2.1: a noção de conjunto indutivo, e de menor conjunto indutivo, generalizada a qualquer anel unitário. O princípio de indução finita neste contexto.

Exercícios da p. 65: 5, 7.

Desigualdades (secção 2.2): O que é um anel ordenado, os conjuntos A+ e A-. Propriedades elementares de desigualdades. A+ e o conjunto N(A). A (única) ordenação dos inteiros.

Exemplos de anéis que não podem ser ordenados. Anéis com mais de uma possível ordenação.

Relações de ordem e anéis ordenados.

Exercícios das pp. 71-72: 2, 3, 7, 8.

1º Teste

8 outubro 2007, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

1º Teste. A resolução do teste está na secção "textos de apoio".