Os anéis Zm

29 outubro 2007, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Classes de restos, os conjuntos Zm, operações algébricas, os anéis e grupos Zm.

Elementos invertíveis e divisores de zero, a função de Euler, os corpos Zp. Cálculo da função de Euler quando m é uma potência de um primo.

Determinação de subgrupos/subanéis/ideais, relação com os divisores naturais de m. Alguns exemplos de cálculo.

Congruências

25 outubro 2007, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Congruências lineares, o teorema chinês do resto. Breve referência ao algoritmo RSA e a sua aplicação a assinaturas electrónicas.

Exercícios das pp. 113-114: 2, 4, 8, 10, 11

Congruências

23 outubro 2007, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Conclusão da secção 2.7: Teorema de Euclides, factorização única, exemplos de anéis onde a factorização em elementos irredutíveis não é única.

Exercícios das pp. 104-105: 2, 6, 7, 10 b), 11.

Secção 2.8: Congruências:

Relação de congruência módulo m, classes de restos. Somas, diferenças e produtos, critérios de divisibilidade. Equações lineares, relação com o algoritmo de Euclides.

Ideais e o algoritmo de Euclides

22 outubro 2007, 12:30 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Ideal gerado por um conjunto, exemplos. Característica de um ideal.

Exercícios das pp. 96-98:

Já da secção 2.7, Teorema Fundamental da Aritmética: Existência de factores primos, factorização num produto de primos. A unicidade da factorização: algumas formas do Lema de Euclides.

Ideais e o algoritmo de Euclides

18 outubro 2007, 12:00 • Manuel Paulo de Oliveira Ricou

Cálculo de d = mdc(n,m), e equação d = nx + my. ideais principais, ideais máximos.

Subgrupos, subanéis e ideais gerados por um dado elemento: alguns exemplos. O ideal <2,x> em Z[x] como exemplo de ideal que não é principal.

Exercícios das pp. 96-98: 4, 7