Sumários
14ª Aula
9 novembro 2021, 15:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva
Séries de potências.
Teorema do domínio de convergência de séries de potências em bolas.
Fórmulas para o cálculo do raio de convergência.
Convergência uniforme de sucessões e séires de funções. Critério de Weierstrass.
Holomorfia de séries de potências no interior do seu círculo de convergência.
Diferenciação e integração termo a termos. Unicidade dos coeficientes das séries de potências.
Definição de série de Taylor e série de MacLaurin duma função infinitamente diferenciável. Definição de função analítica.
Exemplo, em R, de função infinitamente diferenciável mas não analítica na origem.
Teorema de Taylor sobre analiticidade de funções complexas holomorfas. Demonstração.
Exemplos.
Realização do 2º teste.
13ª Aula
8 novembro 2021, 14:30 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva
Consequências das fórmulas integrais de Cauchy e diferenciabilidade infinita de funções holomorfas.
Holomorfia como condição necessária à existência de primitiva. Equivalência de holomorfia com existência de primitiva em domínios simplesmente conexos.
Teorema de Morera.
Teorema de Liouville. Exemplo: seno e cosenos complexos são funções ilimitadas.
Teorema fundamental da álgebra.
Equação de Laplace e funções harmónicas. Importânica para aplicações à física e engenharia: potenciais. Propriedade harmónica das partes real e imaginária duma função holomorfa. Definição de conjugado harmónico e teorema de existência em domínios simplesmente conexos. Unicidade do conjugado harmónico a menos duma constante real aditiva.
Início do estudo de séries de termos complexos.
Somas parciais e definição de série convergente.
Exemplos. Série geométrica.
O termo geral duma série convergente é um infinitésimo.
Linearidade das séries.
Convergência absoluta e simples. Exemplos.
Revisão dos principais critérios de convergência para séries de termos positivos.Critério Geral de Comparação. Critério da raíz e de Cauchy. Critério da razão e de D'Alembert.
Exemplos e exercícios.
12ª Aula
2 novembro 2021, 15:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva
Teorema de Cauchy-Goursat como teorema de invariância de integrais ao longo de caminhos homotópicos em domínios de holomorfia.
Teorema de Cauchy para caminhos fechados homotópicos a pontos em domínios de holomorfia.
Definição de conjunto simplesmente conexo, sem recurso a curvas de Jordan, como domínios nos quais todos os caminhos fechados são homotópicos a pontos.Teorema de Cauchy para domínios simplesmente conexos.
Existência de primitivas para funções holomorfas em domínios simplesmente conexos.Exemplo da existência de primitiva de 1/z em domínios que contornam várias vezes a origem, mas simplesmente conexos.
Definição do índice de um caminho fechado relativamente a um ponto fora da curva por ele percorrida. Intuição do indíce como o "número de voltas do caminho em torno do ponto". Invariância do índice relativamente a um ponto sob homotopias em C excepto esse ponto. Exemplos.
Fórmula integral de Cauchy para o valor da função num ponto, em termos do integral ao longo dum caminho fechado e do seu índice relativamente a esse ponto. Demonstração da fórmula integral de Cauchy. Consequências da fórmula integral de Cauchy: unicidade de valores de funções holomorfas no interior de curvas de Jordan.
Utilização da fórmula integral de Cauchy para o cálculo de integrais de funções ao longo de caminhos fechados.
Fórmulas integrais de Cauchy para as derivadas de ordem superior. Diferenciabilidade infinita de funções holomorfas. Importância de holomorfia vs diferenciabilidade num ponto.
Exemplos e exercícios.
11ª Aula (compensação pelo feriado de 1 de Novembro)
29 outubro 2021, 13:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva
Revisão do Teorema de Green e sua utilidade, em análise em R^2, para a determinação de campos gradientes em conjunção com o Teorema Fundamental do Cálculo e Teorema da Independência do Caminho.
Teorema de Cauchy (versão básica)
Demonstração para funções C^1 e curvas de Jordan (simples e fechadas), através do recurso ao teorema de Green.
Exemplos de aplicação. Comparação da aplicabilidade e conclusões do Teorema de Cauchy e do Teorema Fundamental do Cálculo.
Teorema da deformação em versão básica. Equivalência entre teorema de Cauchy e teorema da deformação.
Definição de conjunto simplesmente conexo através de homotopias e curvas de Jordan.
Teorema de Cauchy para domínios simplesmente conexos.
Corolário: existência de primitiva de funções holomorfas em domínios simplesmente conexos.
10ª Aula
26 outubro 2021, 15:00 • Jorge Filipe Drumond Pinto da Silva
Exemplo da majoração do valor absoluto dum integral complexo.
Teorema Fundamental do Cálculo.
Analogia do teorema fundamental do cálculo complexo com integrais de campos conservativos em R^2.
Análise das consequências do teorema fundamental do cálculo. Exemplos: as funções 1/z e 1/z^2, e seus integrais em torno da origem à luz do teorema fundamental do cálculo.
Conjuntos conexos e conexos por arcos. Funções contínuas transformam conjuntos conexos em conjuntos conexos. Conexo por arcos é conexo, mas há conexos que não são conexos por arcos. Exemplo: o gráfico da função sen (1/x) com x em ]0,1], como subconjunto de R^2, reunido com o segmento de recta no eixo dos yy entre -1 e 1. Abertos e conexos são conexos por arcos.
Teorema da independência do caminho: para funções contínuas em domínios abertos e conexos: equivalência entre existência de primitiva, integrais nulos ao longo de qualquer curva fechada e integrais em curvas abertas só dependerem dos pontos extremos.
Realização do 1º Teste.