Sumários
Aula 13 — Inteiros algébricos e teorema de Burnside
2 junho 2026, 09:00 • Pedro Resende
Propriedades dos inteiros algébricos. Lema: dado um caracter irredutível X de grau d de um grupo finito G, uma classe de conjugação C e um elemento g de C, o número | C| X( g)/ d é um inteiro algébrico. Corolário: d | | G| (demonstração ficou para exercício). Lema: se | C| e d são coprimos então X( g) = 0 ou | X( g)| = d. Centro Z( X) de um caracter X. Demonstração do teorema paqb de Burnside.
Aula 12 — Novas operações sobre representações
28 maio 2026, 09:00 • Pedro Resende
Produto tensorial de representações; dual de uma representação; representação no espaço Hom C( V, W) de transformações lineares entre representações V e W. Propriedades destas operações, representações matriciais e caracteres.
Aula 11 — Relações de ortogonalidade (continuação)
26 maio 2026, 09:00 • Pedro Resende
Contagem do número de caracteres irredutíveis (demonstração de que a tabela de caracteres é uma matriz quadrada e a fórmula | G| = d 1 2 + ... + dr 2). A segunda relação de ortogonalidade. Estratégias para construir tabelas de caracteres. Exemplos de grupos não isomorfos com a mesma tabela de caracteres: D 4 e Q 8. Exemplos do tipo de informação sobre um grupo que se consegue extrair da sua tabela de caracteres. Resolução de um exercício de avaliação contínua.
Aula 10 — Primeira relação de ortogonalidade
21 maio 2026, 09:00 • Pedro Resende
Primeira relação de ortogonalidade e corolários. Exemplos. Um exercício de avaliação contínua.
Aula 9 — Representações de grupos abelianos e introdução aos caracteres
19 maio 2026, 09:00 • Pedro Resende
Facto a respeito de representações complexas irredutíveis de um grupo finito: são em número finito e contidas na representação regular. Lema de Schur (parte 2, para representações complexas). Representações de dimensão 1 e representações irredutíveis de grupos abelianos. Introdução aos caracteres de grupos e às suas propriedades elementares. Resolução de um exercício de avaliação contínua no quadro.