Programa

Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies

Mestrado Bolonha em Matemática Aplicada e Computação

Programa

Curvas parametrizadas. Curvas no espaço: curvatura e torção; triedro de Frenet; existência e unicidade de curvas com curvatura e torção prescritas. Propriedades globais de curvas no plano: desigualdade isoperimétrica e o teorema dos quatro vértices. Superfícies no espaço Euclidiano 3-dimensional. Plano tangente e aplicações suaves entre superfícies. A primeira forma fundamental; área. A aplicação normal de Gauss. A segunda forma fundamental. Curvaturas principais; curvaturas Gaussiana e média; linhas de curvatura. A aplicação normal de Gauss em coordenadas. Cálculo em exemplos clássicos. Geometria intrínseca de superfícies. Isometrias e aplicações conformes. O teorema de Gauss e as equações de compatibilidade. Transporte paralelo; geodésicas. Cálculo das geodésicas em superfícies de revolução; o integral de Clairaut. O teorema de Gauss-Bonnet e aplicações. Tópicos opcionais e/ou adicionais: formas diferenciais e sua aplicação à geometria diferencial de superfícies.