Sumários
Aula 36
4 janeiro 2024, 16:30 • Pedro Resende
Revisão da matéria sobre anéis simples e semisimples dada antes do Natal. Demonstração do teorema de Artin–Wedderburn (excluindo o material sobre idempotentes da secção 7 das notas). Igualdade do número de componentes de Wedderburn do anel CG e do número de classes de conjugação de G. Álgebras de grupos abelianos. Representações irredutíveis de G versus módulos simples de CG.
Aula 35
21 dezembro 2023, 16:30 • Pedro Resende
R-álgebras, para um anel comutativo unitário R. Exemplos: anéis de polinómios R[x] são R-álgebras; anéis de matrizes M n(R) são R-álgebras; anéis de grupo RG são R-álgebras. Relação entre representações (complexas) de um grupo finito G e CG-módulos. Lema de Schur para módulos simples de F-álgebras, em que F é um corpo algebricamente fechado. Teorema de Maschke. Anéis simples. Esboço da demonstração de que uma C-álgebra simples é necessariamente isomorfa a uma álgebra de matrizes M n( C), sendo os ideais esquerdos minimais os espaços de matrizes nxn que têm quando muito uma coluna não nula. C-álgebras semisimples como produtos de anéis de matrizes (Teorema de Wedderburn, não demonstrado).
Aula 34
19 dezembro 2023, 13:30 • Pedro Resende
Equivalência, para um anel fixo R, de "todos os R-módulos são injetivos" e "todos os R-módulos são projetivos". Anéis semisimples, definidos como os anéis que satisfazem as propriedades anteriores. Módulos simples e módulos semisimples (completamente redutíveis). Lema de Schur. Quocientes de módulos semisimples. Definições alternativas de anel semisimples. Módulos semisimples de R como somas diretas de ideais minimais esquerdos de R (a menos de isomorfismo). Módulos simples de R são (a menos de isomorfismo) os ideais minimais esquerdos.
Aula 33
15 dezembro 2023, 13:00 • Pedro Resende
Módulos planos. Propriedades e exemplos. Exatidão à direita do functor produto tensorial por um módulo.