Planeamento
Aulas Teóricas
Aula 1
Semigrupos, monóides e grupos. Relações de equivalência. Homomorfismos de grupos.
Aula 2
Grupo dos automorfismos de um grupo G. Geradores de um grupo. Grupos cíclicos.
Aula 3
Classes laterais, grupos normais e quocientes de grupos. Teoremas de Isomorfismo de grupos. Produto directo de dois grupos.
Aula 4
Produto semidirecto de grupos. Acções de grupos: definição e exemplos, acções efectivas, acções transitivas.
Aula 5
Acção de grupos (conclusão).
Aula 6
Subgrupos de Sylow.
Aula 7
Produto directo e soma directa de uma família arbitrária de grupos. Grupos nilpotentes.
Aula 8
Comutadores. Grupos resolúveis. Grupos simples. Séries normais e subnormais. Séries de composição e Teorema de Jordan-Holder.
Aula 9
Anéis e subanéis. Homomorfismos de anéis. Ideais e anéis quocientes. Característica de um anel.
Aula 10
Teoremas de isomorfismo de anéis. Ideais primos e maximais.
Aula 11
Produto directo de anéis. Ideais primos e maximais em anéis comutativos. Factorização em anéis comutativos.
Aula 12
Domínios de factorização única, domínios de ideais principais, domínios euclideanos. Localização de anéis comutativos.
Aula 13
Ideais em \(S^{-1}A\). Anéis locais. Aneís de polinómios (início).
Aula 14
Anéis de polinómios \(A[x_1,\ldots, x_n]\). Homomorfismos definidos em anéis de polinómios. Séries formais. Factorização em anéis de polinómios (início).
Aula 15
Factorização em anéis de polinómios (conclusão). Categorias: definições e exemplos, produtos e coprodutos, objectos iniciais e terminais.
Aula 16
Produtos são objectos terminais. Functores. Transformações naturais.
Aula 17
Módulos sobre um anel A. Homomorfismos e quocientes de módulos. Produto directo, soma directa.
Aula 18
Sucessões exactas. Bases e módulos livres.
Aula 19
Resolução do teste 1. Objectos livres numa categoria concreta, caso particular na categoria dos módulos-A.
Aula 20
Caracterização de módulos livres. Anéis de matrizes como anéis de endomorfismos de somas directas de módulos. Invariância dimensional (início).
Aula 21
Invariância dimensional (conclusão). Módulos projectivos e injectivos.
Aula 22
Produto tensorial.
Aula 23
Propriedades do produto tensorial. Extensão de escalares. Módulos sobre domínios integrais (início).
Aula 24
Módulos sobre domínios integrais (conclusão). Módulos sobre um domínio de ideais principais.
Aula 25
Classificação de módulos finitamente gerados sobre um d.i.p. Decomposição em factores invariantes e factores cíclicos primários. Caso particluar de grupos abelianos finitamente gerados.
Aula 26
Formas canónicas racionais e de Jordan. Classes de conjugação no grupo \(GL_n(k)\), com \(k\) um corpo qualquer.