Programa

Cálculo Estocástico

Diploma de Estudos Avançados em Matemática

Programa

Introdução e aplicações das equações diferenciais estocásticas: Modelação matemática de sistemas dinâmicos com perturbações estocásticas: o papel do ruído na Natureza. Alguns exemplos da Física. Ressonância estocástica: os benefícios do ruído num fenómenos físico. Perturbações estocásticas em matemática financeira. Cálculo estocástico de Itô: Alguns conceitos de probabilidade. O movimento Browniano. Integrais estocásticos de Itô e de Stratonovich. A formula de Itô. Equações diferenciais estocásticas: Equações diferenciais estocásticas lineares. Algumas equações solúveis explicitamente. Soluções fortes e soluções fracas: existência e unicidade. Expansões de Taylor estocásticas: Integrais estocásticos múltiplos. Expansões de Itô-Taylor. Aproximações forte e fraca de integrais estocásticos múltiplos; convergência das expansões truncadas. Propriedades de estabilidade e consistência. Aproximações fortes e fracas: Aproximações de Taylor: Euler, Milstein e esquemas de ordem superior. Aproximações explícitas e implícitas. Propriedades de estabilidade. Relações com as equações às derivadas parciais: Fórmulas de Girsanov e de Feynman-Kac. Equações de Kolmogorov "forward" e "backward". Métodos numéricos deterministas para e.d.p.'s versus métodos de tipo Monte-Carlo; vantagens e desvantagens. Equações diferenciais estocásticas "forward-backward".