Planeamento

Aulas Teóricas

Apresentação

Apresentação e funcionamento da cadeira. Exemplos de campos escalares, campos vectoriais e suas representações

gráficas. Norma e distância. Bolas abertas em R^n.

Topologia em R^n e limites de sucessões

Definição de interior, exterior, fronteira e aderência de conjuntos. Conjuntos abertos, fechados, limitados e compactos. Exemplos. Definição de limite de uma sucessão em R^n. Uma sucessão converge sse cada uma das sucessões coordenadas converge. Definição de sucessão limitada. Uma sucessão é limitada sse cada uma das sucessões coordenadas é uma sucessão limitada. Exemplos.

Continuidade de funções

A aderência ou fecho de um conjunto X é o conjunto dos limites de sucessões com termos em X. Definição de função contínua. Exemplos. Transformações lineares são funções contínuas. Propriedades das funções contínuas.

Limites de funções

Definição de limite de uma função num ponto. Relação com a noção de continuidade. Exemplos de determinação de limites. Exemplos de cálculo de limites e de discussão de continuidade de funções usando limites direccionais, limites ao longo de curvas e majorações.

Teorema de Weierstrass

Propriedades dos limites. Exemplos de cálculo de limites. Demonstração do Teorema de Bolzano-Weierstrass e do Teorema de Weierstrass.

Derivadas parciais e direccionais.

Critério para cálculo de alguns limites usando coordenadas polares em R^2. Exemplo. Derivadas parciais e derivadas segundo um vector de funções com domínio em R^n. Exemplos de cálculo.

A definição de derivada

Motivação do conceito e definição de derivada. Exemplo de função diferenciável. Uma função diferenciável é contínua. Relação da derivada com as derivadas segundo vectores. Fórmula para a matriz jacobiana num ponto em que a função é diferenciável. Exemplo de cálculo da matriz jacobiana.

Condição suficiente de diferenciabilidade

Definição de gradiente. Exemplos de funções diferenciáveis: funções constantes e transformações lineares. Condição suficiente de diferenciabilidade: funções de classe C^1 no seu domínio são diferenciáveis no domínio. Exemplos.

Regra de derivação da função composta

A regra de derivação da função composta. Aplicações: a soma, produto e quociente de funções diferenciáveis é diferenciável no seu domínio. Exemplos de aplicação.

Regra da cadeia

A regra da cadeia para o cálculo de uma derivada parcial da função composta. Exemplos.

Interpretação geométrica do gradiente.

Interpretação geométrica do gradiente. O gradiente de uma função de R^n em R é um vector que aponta na direcção de crescimento máximo da função e cujo comprimento é a taxa de crescimento da função nessa direcção. Conjuntos de nível. A derivada de um caminho (função de R em R^n) diferenciável é um vector tangente  à imagem do caminho. Exemplos de caminhos e das suas imagens.

Aplicações geométricas da derivada

Continuação da aula anterior. O gradiente de uma função é perpendicular ao conjunto de nível.  Aplicação à determinação da linha perpendicular e do plano tangente a uma superfície num ponto.

Derivadas parciais de ordem superior

Derivadas parciais de ordem superior à primeira. Funções de classe C^p. Lema de Schwarz: para uma função de classe C^p, uma derivada de ordem menor ou igual a p só depende do número de vezes que se deriva em ordem a cada uma das variáveis, e não da ordem por que se deriva. Exemplos.

A fórmula de Taylor

Fórmula de Taylor para funções de várias variáveis de classe C^3. Matriz Hessiana de uma função. Fórmula de Lagrange para o resto. Exemplo de aplicação ao cálculo de valores aproximados de uma função.

Extremos de funções de várias variáveis

Uma condição necessária para a ocorrência de um extremo é que o gradiente se anule nesse ponto. Pontos críticos ou de estacionaridade. Exemplos. Ponto de sela. Critérios de 2ª ordem, necessários e suficientes, para que um campo escalar tenha um extremo num ponto de estacionaridade. Relação com os valores próprios da matriz Hessiana. Exemplo de classificação de um ponto de estacionaridade. 

Exemplos de classificação de pontos críticos

Exemplos de classificação de pontos críticos de funções de várias variáveis.  Exemplos de classificação de extremos absolutos usando o Teorema de Weierstrass.

Teorema da Função Inversa

Coordenadas polares e a sua função inversa. Inversa de uma função. Uma função é invertível sse é injectiva. Enunciado do Teorema da Função Inversa. Demonstração da fórmula para a derivada da função inversa. Exemplo de uma função de R^2 em R^2 que tem inversa local em todos os pontos, mas não é invertível. Exemplo do cálculo da derivada de uma função inversa local.

Teorema da Função Implícita

Exemplo do teorema da função implícita no caso de duas variáveis. Enunciado do Teorema da Função Implícita no caso geral. Dedução da fórmula para a derivada da função implícita. Exemplos de funções de duas variáveis e de um sistema de duas equações e quatro variáveis. Exemplos de cálculo de derivadas de funções definidas implicitamente.

Teorema da Função Implícita (cont.)

Demonstração a partir do Teorema da Função Inversa. Duas interpretações do teorema da função implícita: forma analítica e forma geométrica. Mais exemplos de aplicação do teorema da função implícita e de cálculo de derivadas de funções definidas implicitamente por sistemas. 

Conclusão do T. F. Implícita e do T. F. Inversa

Resolução de exercícios sobre os dois teoremas: exemplo de cálculo de uma segunda derivada de uma função definida implicitamente; interpretação do teorema da função inversa como dando condições para a existência de solução única de um sistema de equações, na vizinhança de uma solução dada.

Definição de variedade

Definição de variedade de dimensão p como subconjunto de R^n que localmente pode ser descrito como um conjunto de nível de uma função de classe C^1 cuja  matriz jacobiana tem característica máxima. Exemplos. Um conjunto é uma variedade de dimensão p sse é localmente o gráfico de uma função de classe C^1 de p variáveis. Exemplos.

Espaço tangente e espaço normal

Definição de espaço tangente e espaço normal a uma variedade-p num ponto. SE M é definida pela equação F=0 com F de classe C^1 e DF com caracteristica máxima nos pontos de de M, então o espaço normal em x_0 é o espaço das linhas da matriz DF(x_0) e o espaço tangente em x_0 é o núcleo da matriz DF(x_0). Exemplos.

Parametrizações

Definição de parametrização de um subconjunto de uma variedade. Toda a variedade pode ser parametrizada localmente. Parametrização de gráficos de funções.  Exemplos. Determinação de parametrizações utilizando outras coordenadas. Coordenadas cilíndricas e esféricas. Exemplos.

O método dos multiplicadores de Lagrange

O método dos multiplicadores de Lagrange para o cálculo de extremos de funções em variedades. Exemplos.

Método dos multiplicadores de Lagrange (cont.)

Resolução de exercícios sobre o método dos multiplicadores de Lagrange.

Definição de integral

Intervalos de R^n, volume de intervalos, partições e funções em escada. Integral de uma função em escada num intervalo limitado. Definição de integral superior e integral inferior de uma função limitada num intervalo limitado. Uma função limitada f num intervalo diz-se integrável se os integrais superior e inferior de f são iguais e, nesse caso, esse número diz-se o integral de f.

Teorema de Fubini

Enunciado do critério de integrabilidade de Riemann. Enunciado do Teorema de Fubini. Exemplos de cálculo de integrais duplos usando integrais iterados.

Aplicações do integral

Aplicações do integral ao cálculo de áreas e volumes. Exemplos de determinação dos extremos de integração de integrais de volume.

Revisões para o 1º Teste

Resolução de um teste do ano anterior.

Revisões para o 1º Teste

Resolução de um teste do ano anterior.

Propriedades do integral

Propriedades do integral: linearidade, monotonia, aditividade e desigualdade triangular. Exemplos de determinação dos extremos de integração de integrais de volume. 

Teorema de Fubini (cont.)

Exemplos de determinação de extremos de integração de integrais de volume (continuação).

O Teorema de Mudança de Coordenadas

Recapitulação do teorema de mudança de coordenadas para integrais em R. Definição de mudança de variáveis em R^n. O exemplo das coordenadas polares. Enunciado do teorema da mudança de coordenadas para integrais múltiplos. Dois exemplos de cálculo de um integral em coordenadas polares.

Teorema de Mudança de Coordenadas (cont.)

Explicação do significado do factor de conversão de volumes na fórmula de mudança de coordenadas. Coordenadas cilíndricas. Dois exemplos de cálculo de integrais em coordenadas cilíndricas.

Teorema de Mudança de Coordenadas (cont.)

Coordenadas esféricas. Cálculo dos volumes de uma bola e de uma calote esférica em R^3. Aplicações do integral ao cálculo  de massas, cargas, coordenadas de centro de massa e centróides, e momentos de inércia em torno de eixos.

Teorema de Mudança de Coordenadas (conclusão)

Cálculo de dois integrais duplos por transformações de coordenadas não standard.

Regra de Leibnitz

Enunciado e demostração da regra de Leibnitz. Exemplos de aplicação da regra de Leibnitz.

Aula de dúvidas.

Resolução de exercícios sobre integrais duplos e integrais triplos.

Integrais de campos escalares em variedades

Definição do integral de um campo escalar numa variedade. Aplicações do integral de um campo escalar: volume p-dimensional de uma variedade de dimensão p, massa, coordenadas do centro de massa, momento de inércia. Caso particular do integral de linha. Exemplo de cálculo de uma área de uma superfície e da coordenada do centro de massa de um fio.

Integrais de campos escalares em variedades (cont.)

Explicação da fórmula para o factor de conversão de volumes p-dimensionais. Fórmula alternativa para o factor de conversão de áreas num integral de superfície: norma do produto externo das derivadas parciais da parametrização. Exemplo de cálculo de uma área.

Integrais de campos escalares em variedades (conclusão)

Conclusão  do exemplo da aula anterior de cálculo de um integral de linha. Demonstração da independência da definição do integral da escolha de parametrização para a variedade. Mais um exemplo de cálculo  de integral de campo escalar numa superfície.

Integral de linha de um campo vectorial

Definição de integral de linha de um campo vectorial. Interpretação física do integral de linha de um campo vectorial: trabalho. Exemplo de cálculo do trabalho de um campo ao longo de dois caminhos distintos, mas com os mesmos pontos inicial e final. Cálculo do trabalho de um campo constante ao longo de uma curva regular. Definição de campo conservativo. Enunciado e demonstração do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha.

 

Campos gradientes e fechados.

Definição de campo gradiente e de potencial escalar. Definição de campo fechado. Se F é um gradiente então é fechado. Exemplos de campos gradientes e cálculo do respectivo potencial escalar. Exemplo de cálculo do trabalho de um campo gradiente usando o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha. O campo gravitacional é um campo conservativo.

Condições necessárias e suficientes para ser gradiente

Um campo vectorial é um gradiente sse o integral de caminho depende apenas do ponto inicial e do ponto final do caminho, ou equivalentemente, se o integral ao longo de qualquer caminho fechado é 0. Exemplo de um campo que é fechado mas não é gradiente no seu domínio. A relação de homotopia  entre caminhos. O integral de linha de um campo fechado é o mesmo sobre caminhos homotópicos. Exemplo.

Conjuntos simplesmentes conexos

Definição de conjunto simplesmente conexo. Exemplos de conjuntos simplesmente conexos e não simplesmente conexos. Um campo fechado definido numa região simplesmente conexa é um campo gradiente. Exemplo de cálculo do integral ao longo de um caminho arbitrário do campo (-y/(x^2+y^2), x/(x^2+y^2)). Enunciado do Teorema de Green. Dois exemplos de aplicação.

Teorema de Green

Demonstração do Teorema de Green. Exemplo de aplicação do teorema de Green à substituição de um caminho de integração por outro mais conveniente.

Fluxos

Orientações de superfícies em R^3. Exemplo da banda de Mobius como superfície não orientável.Definição de fluxo de um campo vectorial através de uma superfície no sentido de uma normal dada. Fórmula para o cálculo do fluxo. Exemplo de cálculo de fluxo.

Teorema da Divergência

Interpretação física do fluxo como a quantidade de matéria que atravessa uma superfície no sentido indicado por unidade de tempo (quando o campo é a densidade de fluxo de um fluido). Definição de divergência de um campo vectorial. Definição de domínio elementar e regular. Enunciado do teorema divergência. Dois exemplos de aplicação do teorema da divergência ao cálculo de fluxos.

Teorema da Divergência (cont.)

Exemplo de aplicação do Teorema da Divergência ao campo eléctrico e obtenção da Lei de Gauss (uma das equações de Maxwell). Significado geométrico da divergência.

Teorema de Stokes

A fronteira ou bordo de uma superfície. Orientação no bordo compatível com uma normal dada é dada pela regra da mão direita. Exemplos.  O rotacional de um campo vectorial. O enunciado do Teorema de Stokes e um exmplo de aplicação.

Relação entre divergência, rotacional e gradiente. Potenciais vector.

Relação entre divergência, gradiente e rotacional. Definição de campo solenoidal e potencial vector. Uma condição necessária para a existência de um potencial vector para F é que div F=0. Definição de conjunto em estrela. Se div F=0 num conjunto em estrela então F admite um potencial vector. Exemplo de cálculo de um potencial vector.

Teorema de Stokes (cont.)

Resolução de um exercício sobre o Teorema de Stokes. Recapitulação da definição dos integrais e Teoremas estudados desde o ínicio do estudo do Cálculo Integral em R^n: integrais múltiplos e integrais em variedades de campos escalares e campos vectoriais; Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha, Teorema de Green, Teorema da Divergência e Teorema de Stokes.

Resolução de problemas

Resolução de problemas da Ficha 7: cálculo de fluxos usando a definição, o Teorema da Divergência e o Teorema de Stokes; e cálculo de trabalhos usando a invariância por homotopia.

Resolução de problemas

Resolução de problemas da Ficha 7: diferentes aplicações do Teorema de Stokes; e cálculo de trabalhos usando a invariância por homotopia.