Planeamento

Aulas Teóricas

Apresentação

Objectivos, programa, introdução

Tópicos das secções 1.1, 1.2 e 1.3

Desigualdades, valor absoluto, intervalos, vizinhanças, valores aproximados;

majorantes e minorantes de conjuntos, máximo e mínimo, conjuntos limitados, supremo e ínfimo.

O Axioma do Supremo

As noções de supremo e ínfimo, exemplos de aplicação: a definição de área de um círculo e de comprimento de uma curva.

Outras caracterizações destas noções.
O axioma do supremo é a questão da decomposição da recta real em duas semi-rectas disjuntas.

Axioma do supremo, princípio de indução

O axioma do supremo e a divisão da recta real em semi-rectas. A irracionalidade da raiz de 2.

Princípio de indução, estrutura de uma demonstração por indução.

Princípio de indução

Demonstrações por indução, conjuntos indutivos e a definição dos naturais.

Definições por indução, alguns exemplos.
Funções injectivas, sobrejectivas, bijectivas, relação com o cardinal de conjuntos.

Cardinais, conjuntos não-numeráveis, a diagonal de Cantor

Funções injectivas, sobrejectivas, bijectivas, a noção de cardinal, referência ao teorema de Schroeder-Bernstein.

Conjuntos infinitos numeráveis, o "hotel de Hilbert", o cardinal de NxN e de Q. O argumento da diagonal de Cantor e a existência de conjuntos infinitos não-numeráveis.

Noções elementares sobre funções

Monotonia, periodicidade, paridade, majorantes, minorantes, etc. Sucessões e funções reais

Alguns exemplos interessantes (pi(x), dirichlet)
Composição de funções, inversas à esquerda (de funções injectivas) e à direita (de funções sobrejectivas), a inversa de uma função bijectiva. Relação entre os gráficos de uma função e da sua inversa.

Exemplos de funções reais

Funções polinomiais e racionais, características gerais dos gráficos, zeros, e assímptotas.

As funções trigonométricas: definição geométrica, identidades fundamentais, hipóteses para o nosso estudo subsequente.

Outros exemplos de funções

As funções trigonométricas inversas, em especial arcsen, arccos, arctan

Logaritmos e exponenciais, a exponencial como inversa do logaritmo.
O ponto de partida para o nosso estudo da função "logaritmo natural", incluindo desigualdades que resultam da sua definição "geométrica".

Funções elementares, a noção de limite

Função exponencial e funções hiperbólicas, as funções hiperbólicas inversas.

Potências com expoentes racionais e irracionais, definição e propriedades.
O que são limites? Exemplos de aplicação da noção de limite.

Limites de funções reais

Definição de limite, noção de "ponto de acumulação", exemplos de aplicação da definição ao cálculo de limites, relação com a noção de valor aproximado.

Limites e operações algébricas

Limites de somas, diferenças, produtos e quocientes
O teorema das funções enquadradas
Limites de funções compostas, dificuldades técnicas
Limites relativos, limites laterais
Limites no infinito e limites infinitos

Limites infinitos, indeterminações, continuidade

Limites infinitos e operações algébricas, redução ao caso 0/0, as exponenciais com base e expoente variável. 

Comparação entre x, log x e exp x, alguns limites notáveis.
Continuidade, continuidade lateral, 2 propriedades elementares (locais) de funções contínuas.

Propriedades globais de funções contínuas

Os teoremas de Bolzano e de Weierstrass,e  a inversão de funções contínuas.

Derivadas

Derivadas, interpretação geométrica, exemplos de aplicação, definição, exemplos de cálculo.

Notação de Newton e de Leibniz, derivadas de ordem superior, derivadas laterais.
Continuidade e diferenciabilidade.

Regras de diferenciação

Regras de diferenciação: derivada da soma, diferença, produto, quociente

A derivada da função composta e da função inversa.

O teorema de Rolle

Diferenciação de potências e de exponenciais,
extremos locais e globais, pontos críticos. Em que condições os extremos ocorrem em pontos críticos?
O teorema de Rolle.

O teorema de Rolle

Substituição da aula de 13/10/2015:

Diferenciação de potências e de exponenciais,
extremos locais e globais, pontos críticos. Em que condições os extremos ocorrem em pontos críticos?
O teorema de Rolle.

O teorema de Lagrange

Teorema de Lagrange, aplicações. A solução das equações diferenciais y' = ky e y'' = -y.

Exercícios associados: 4ª Ficha,  grupo I, nº 3 a 17.

Teorema e regra de Cauchy

Curvas paramétricas, teorema de Lagrange e teorema de Cauchy.

Aplicação do teorema de Cauchy ao levantamento de indeterminações: regra de Cauchy.
Exercícios associados: 4ª Ficha,  todo o grupo I.

Aplicações do teorema de Cauchy

Aplicação recursiva do teorema de Cauchy, o resto de Lagrange.

Exemplos de aproximações numéricas, a classificação de pontos críticos, incluindo quando a segunda derivada se anula.
Exercícios associados: 4ª Ficha,  todo o grupo I.

Estudo de funções

Intervalos de monotonia, assímptotas, exemplos

Exercícios associados: 4ª Ficha,  grupo II.

Concavidade e convexidade de funções

Caracterização de funções côncavas e convexas,

relação com intervalos de monotonia da derivada, e o sinal da segunda derivada.

Polinómios e fórmula de Taylor com resto de Lagrange

Definição e cálculo de polinómios de Taylor, resto de Lagrange

Exemplos de cálculo numérico de funções: o caso das funções trigonométricas.
Exercícios associados: 4ª Ficha,  grupo III.

Polinómios e fórmula de Taylor com resto de Lagrange

Outros exemplos de cálculo, a função exponencial, o cálculo aproximado da constante de Euler.

Irracionalidade da constante de Euler.
Exercícios associados: 4ª Ficha,  grupo III.

Introdução ao estudo de integrais

Interpretação geométrica de integrais. Terminologia: função integranda, região de integração, variável de integração.

Exemplos de cálculo e de aplicações.
Decomposição da região de integração em subregiões, valor médio de uma função.
Exemplos de funções "integráveis": funções contínuas e/ou monótonas em intervalos limitados e fechados.

Os teoremas fundamentais do Cálculo

Integrais indefinidos, a derivada de um integral indefinido e o integral de uma derivada.
Exercícios associados: 5ª Ficha,  grupos I, II e III.

Exemplos de aplicação de integrais, regras de primitivação

Revisão dos teoremas fundamentais do cálculo

Aplicação à determinação de áreas
Breve referência ao cálculo de integrais de linha
Primitivas imediatas, exemplos de regras de primitivação elementares
Primitivação por partes

Técnicas de primitivação

Primitivação por partes, outros exemplos.

Primitivação por substituição, aplicações.
Exercícios associados: 5ª Ficha,  grupo V, 6ª Ficha, grupo I.

Técnicas de primitivação

Primitivação por substituição, exemplos de aplicação.

Primitivação de funções racionais, introdução ao problema.

Primitivação de funções racionais

Decomposição em fracções parciais, técnicas de cálculo dos coeficientes, técnicas de primitivação de fracções parciais.
Exercícios associados: 6ª Ficha, secções II e III.

Complementos sobre primitivação

Primitivação de fracções parciais,

Primitivação de funções trigonométricas, alguns casos especiais incluindo funções racionais de sen x e cos x.
Exercícios associados: 6ª Ficha, secções III e IV.

O integral de Riemann

Partições, somas superiores e soma inferiores de funções limitadas. O exemplo de Arquimedes (parábola). 

Somas superiores e inferiores como aproximações do integral, e definição de integrabilidade.
A integrabilidade do exemplo de Arquimedes, funções não integráveis, o exemplo de Dirichlet.
Exercícios associados: 6ª Ficha, secção V.

O integral de Riemann

Comparação entre somas superiores e somas inferiores, o integral de Riemann como separador entre somas superiores e somas inferiores.

Integrabilidade de funções monótonas,
o 2º teorema fundamental do cálculo demonstrado para o integral de Riemann. 
 Exercícios associados: 6ª Ficha, secção V.


Integral de Riemann

Integrabilidade de funções contínuas (teorema das pequenas oscilações)
Integrabilidade em subintervalos, e aditividade do integral em relação à região de integração
Derivadas que não são integráveis
Extensões do 2º teorema fundamental do cálculo
Exercícios associados: 6ª Ficha, secção V.

Outras aplicações dos integrais

Cálculo de volumes de sólidos de revolução
O problema do comprimento de uma curva
Integrais impróprios (regiões de integração ilimitadas, funções integrandas ilimitadas)

Introdução ao estudo de séries

Séries e os paradoxos de Zenão. Terminologia a conhecer: termo geral, somas parciais, soma, natureza.

Séries geométricas e respectiva soma.
A série harmónica, comparação com um integral, divergência.

Exercícios associados: 7ª Ficha, secção II.

Séries de termos não-negativos (STNN)

A convergência de sucessões monótonas limitadas e a comparação entre séries de termos não-negativos.

Exemplos de aplicação e comparação entre séries e integrais.

Exercícios associados: 7ª ficha, secção II

Séries de termos não-negativos (STNN)

O teste do integral, incluindo a sua utilização no cálculo aproximado da soma duma série.

A natureza das séries de Dirichlet.
Comparação entre séries através do teste do limite,
o teste da raíz.

Exercícios associados: 7ª ficha, secção II

Complementos sobre séries numéricas

Critério da razão, comparação com critério da raíz.

Convergência absoluta e condicional, séries alternadas e critério de Leibniz.
Séries de funções, exemplos.
Exercícios associados: 7ª Ficha, secção II.

Séries de potências

Séries de potências, domínio de convergência, raio de convergência.

Exercícios associados: 7ª Ficha, secção III.

Séries de Taylor

Desenvolvimentos de funções em séries de Taylor, coeficientes da série, convergência e resto de Lagrange.

Exemplos da exponencial, seno e cosseno, outras técnicas de cálculo de séries de Taylor.
Exercícios associados: 7ª Ficha, secção III.