Planeamento
Aulas Teóricas
Apresentação
Aula 1
Objectivos, programa, introdução
Tópicos das secções 1.1, 1.2 e 1.3
Aula 2
Desigualdades, valor absoluto, intervalos, vizinhanças, valores aproximados;
majorantes e minorantes de conjuntos, máximo e mínimo, conjuntos limitados, supremo e ínfimo.
O Axioma do Supremo
Aula 3
As noções de supremo e ínfimo, exemplos de aplicação: a definição de área de um círculo e de comprimento de uma curva.
Outras caracterizações destas noções.
O axioma do supremo é a questão da decomposição da recta real em duas semi-rectas disjuntas.
Axioma do supremo, princípio de indução
Aula 4
O axioma do supremo e a divisão da recta real em semi-rectas. A irracionalidade da raiz de 2.
Princípio de indução, estrutura de uma demonstração por indução.
Princípio de indução
Aula 5
Demonstrações por indução, conjuntos indutivos e a definição dos naturais.
Definições por indução, alguns exemplos.
Funções injectivas, sobrejectivas, bijectivas, relação com o cardinal de conjuntos.
Cardinais, conjuntos não-numeráveis, a diagonal de Cantor
Aula 6
Funções injectivas, sobrejectivas, bijectivas, a noção de cardinal, referência ao teorema de Schroeder-Bernstein.
Conjuntos infinitos numeráveis, o "hotel de Hilbert", o cardinal de NxN e de Q. O argumento da diagonal de Cantor e a existência de conjuntos infinitos não-numeráveis.
Noções elementares sobre funções
Aula 7
Monotonia, periodicidade, paridade, majorantes, minorantes, etc. Sucessões e funções reais
Alguns exemplos interessantes (pi(x), dirichlet)
Composição de funções, inversas à esquerda (de funções injectivas) e à direita (de funções sobrejectivas), a inversa de uma função bijectiva. Relação entre os gráficos de uma função e da sua inversa.
Exemplos de funções reais
Aula 8
Funções polinomiais e racionais, características gerais dos gráficos, zeros, e assímptotas.
As funções trigonométricas: definição geométrica, identidades fundamentais, hipóteses para o nosso estudo subsequente.
Outros exemplos de funções
Aula 9
As funções trigonométricas inversas, em especial arcsen, arccos, arctan
Logaritmos e exponenciais, a exponencial como inversa do logaritmo.
O ponto de partida para o nosso estudo da função "logaritmo natural", incluindo desigualdades que resultam da sua definição "geométrica".
Funções elementares, a noção de limite
Aula 10
Função exponencial e funções hiperbólicas, as funções hiperbólicas inversas.
Potências com expoentes racionais e irracionais, definição e propriedades.
O que são limites? Exemplos de aplicação da noção de limite.
Limites de funções reais
Aula 11
Definição de limite, noção de "ponto de acumulação", exemplos de aplicação da definição ao cálculo de limites, relação com a noção de valor aproximado.
Limites e operações algébricas
Aula 12
Limites de somas, diferenças, produtos e quocientes
O teorema das funções enquadradas
Limites de funções compostas, dificuldades técnicas
Limites relativos, limites laterais
Limites no infinito e limites infinitos
Limites infinitos, indeterminações, continuidade
Aula 13
Limites infinitos e operações algébricas, redução ao caso 0/0, as exponenciais com base e expoente variável.
Comparação entre x, log x e exp x, alguns limites notáveis.
Continuidade, continuidade lateral, 2 propriedades elementares (locais) de funções contínuas.
Propriedades globais de funções contínuas
Aula 14
Os teoremas de Bolzano e de Weierstrass,e a inversão de funções contínuas.
Derivadas
Aula 15
Derivadas, interpretação geométrica, exemplos de aplicação, definição, exemplos de cálculo.
Notação de Newton e de Leibniz, derivadas de ordem superior, derivadas laterais.
Continuidade e diferenciabilidade.
Regras de diferenciação
Aula 16
Regras de diferenciação: derivada da soma, diferença, produto, quociente
A derivada da função composta e da função inversa.
O teorema de Rolle
Aula 17
Diferenciação de potências e de exponenciais,
extremos locais e globais, pontos críticos. Em que condições os extremos ocorrem em pontos críticos?
O teorema de Rolle.
O teorema de Rolle
Aula 18
Substituição da aula de 13/10/2015:
Diferenciação de potências e de exponenciais,
extremos locais e globais, pontos críticos. Em que condições os extremos ocorrem em pontos críticos?
O teorema de Rolle.
O teorema de Lagrange
Aula 19
Teorema de Lagrange, aplicações. A solução das equações diferenciais y' = ky e y'' = -y.
Exercícios associados: 4ª Ficha, grupo I, nº 3 a 17.
Teorema e regra de Cauchy
Aula 20
Curvas paramétricas, teorema de Lagrange e teorema de Cauchy.
Aplicação do teorema de Cauchy ao levantamento de indeterminações: regra de Cauchy.
Exercícios associados: 4ª Ficha, todo o grupo I.
Aplicações do teorema de Cauchy
Aula 21
Aplicação recursiva do teorema de Cauchy, o resto de Lagrange.
Exemplos de aproximações numéricas, a classificação de pontos críticos, incluindo quando a segunda derivada se anula.
Exercícios associados: 4ª Ficha, todo o grupo I.
Estudo de funções
Aula 22
Intervalos de monotonia, assímptotas, exemplos
Exercícios associados: 4ª Ficha, grupo II.
Concavidade e convexidade de funções
Aula 23
Caracterização de funções côncavas e convexas,
relação com intervalos de monotonia da derivada, e o sinal da segunda derivada.
Polinómios e fórmula de Taylor com resto de Lagrange
Aula 24
Definição e cálculo de polinómios de Taylor, resto de Lagrange
Exemplos de cálculo numérico de funções: o caso das funções trigonométricas.
Exercícios associados: 4ª Ficha, grupo III.
Polinómios e fórmula de Taylor com resto de Lagrange
Aula 25
Outros exemplos de cálculo, a função exponencial, o cálculo aproximado da constante de Euler.
Irracionalidade da constante de Euler.
Exercícios associados: 4ª Ficha, grupo III.
Introdução ao estudo de integrais
Aula 26
Interpretação geométrica de integrais. Terminologia: função integranda, região de integração, variável de integração.
Exemplos de cálculo e de aplicações.
Decomposição da região de integração em subregiões, valor médio de uma função.
Exemplos de funções "integráveis": funções contínuas e/ou monótonas em intervalos limitados e fechados.
Os teoremas fundamentais do Cálculo
Aula 27
Integrais indefinidos, a derivada de um integral indefinido e o integral de uma derivada.
Exercícios associados: 5ª Ficha, grupos I, II e III.
Exemplos de aplicação de integrais, regras de primitivação
Aula 28
Revisão dos teoremas fundamentais do cálculo
Aplicação à determinação de áreas
Breve referência ao cálculo de integrais de linha
Primitivas imediatas, exemplos de regras de primitivação elementares
Primitivação por partes
Técnicas de primitivação
Aula 29
Primitivação por partes, outros exemplos.
Primitivação por substituição, aplicações.
Exercícios associados: 5ª Ficha, grupo V, 6ª Ficha, grupo I.
Técnicas de primitivação
Aula 30
Primitivação por substituição, exemplos de aplicação.
Primitivação de funções racionais, introdução ao problema.
Primitivação de funções racionais
Aula 31
Decomposição em fracções parciais, técnicas de cálculo dos coeficientes, técnicas de primitivação de fracções parciais.
Exercícios associados: 6ª Ficha, secções II e III.
Complementos sobre primitivação
Aula 32
Primitivação de fracções parciais,
Primitivação de funções trigonométricas, alguns casos especiais incluindo funções racionais de sen x e cos x.
Exercícios associados: 6ª Ficha, secções III e IV.
O integral de Riemann
Aula 33
Partições, somas superiores e soma inferiores de funções limitadas. O exemplo de Arquimedes (parábola).
Somas superiores e inferiores como aproximações do integral, e definição de integrabilidade.
A integrabilidade do exemplo de Arquimedes, funções não integráveis, o exemplo de Dirichlet.
Exercícios associados: 6ª Ficha, secção V.
O integral de Riemann
Aula 34
Comparação entre somas superiores e somas inferiores, o integral de Riemann como separador entre somas superiores e somas inferiores.
Integrabilidade de funções monótonas,
o 2º teorema fundamental do cálculo demonstrado para o integral de Riemann.
Exercícios associados: 6ª Ficha, secção V.
Integral de Riemann
Aula 35
Integrabilidade de funções contínuas (teorema das pequenas oscilações)
Integrabilidade em subintervalos, e aditividade do integral em relação à região de integração
Derivadas que não são integráveis
Extensões do 2º teorema fundamental do cálculo
Exercícios associados: 6ª Ficha, secção V.
Outras aplicações dos integrais
Aula 36
Cálculo de volumes de sólidos de revolução
O problema do comprimento de uma curva
Integrais impróprios (regiões de integração ilimitadas, funções integrandas ilimitadas)
Introdução ao estudo de séries
Aula 37
Séries e os paradoxos de Zenão. Terminologia a conhecer: termo geral, somas parciais, soma, natureza.
Séries geométricas e respectiva soma.
A série harmónica, comparação com um integral, divergência.
Exercícios associados: 7ª Ficha, secção II.
Séries de termos não-negativos (STNN)
Aula 38
A convergência de sucessões monótonas limitadas e a comparação entre séries de termos não-negativos.
Exemplos de aplicação e comparação entre séries e integrais.
Exercícios associados: 7ª ficha, secção II
Séries de termos não-negativos (STNN)
Aula 39
O teste do integral, incluindo a sua utilização no cálculo aproximado da soma duma série.
A natureza das séries de Dirichlet.
Comparação entre séries através do teste do limite,
o teste da raíz.
Exercícios associados: 7ª ficha, secção II
Complementos sobre séries numéricas
Aula 40
Critério da razão, comparação com critério da raíz.
Convergência absoluta e condicional, séries alternadas e critério de Leibniz.
Séries de funções, exemplos.
Exercícios associados: 7ª Ficha, secção II.
Séries de potências
Aula 41
Séries de potências, domínio de convergência, raio de convergência.
Exercícios associados: 7ª Ficha, secção III.
Séries de Taylor
Aula 42
Desenvolvimentos de funções em séries de Taylor, coeficientes da série, convergência e resto de Lagrange.
Exemplos da exponencial, seno e cosseno, outras técnicas de cálculo de séries de Taylor.
Exercícios associados: 7ª Ficha, secção III.