52ª Aula – Continuação de aplicações do T. Fundamental do Cálculo para funções de várias variáveis: Revisão: T. de Green e referência a T. da Curva de Joran. Número de rotação de um caminho fechado em ℝ2 em relação a um ponto.

28 Maio 2020, 13:00 Luis Magalhães

(Não houve aula presencial porque a Direcção do IST decidiu suspender as aulas presenciais devido ao surto de COVID-19. Por isso, a descrição abaixo é bastante detalhada)

Estudo para acompanhamento da matéria: pgs. 138-141 do livro Luis T. Magalhães, Integrais em Variedades e Aplicações, 2ª Edição, Texto Editora, 1999. E exercícios correspondentes.

Observação: O nº de voltas que um caminho em ℝ2 dá em torno de um ponto num mesmo sentido e esse sentido podem ser calculados com um integral de linha, e no caso de um caminho que dê algumas voltas em torno do ponto num sentido e outras no sentido oposto pode-se calcular assim a diferença entre as voltas no sentido positivo e as no sentido negativo. É uma aplicação interessante porque permite obter um número inteiro baseado em noções geométricas e topológicas analiticamente. Para esta aplicação supõe-se a validade do T. da Curva de Jordan (que não demonstrámos, mas supusemos válido) e o T. de Green (T. Fundamental do Cálculo em ℝ2).

Revisão:
(1) Há 10 aulas enunciámos (sem prova) o Teorema da curva de Jordan: Qualquer curva de Jordan (i.e. curva fechada simples) em ℝ2 separa ℝ2 em duas componentes conexas, uma limitada e outra ilimitada, e referimos que embora geometricamente natural e até possa parecer óbvio carece de demonstração e que esta não é fácil (as provas menos difíceis usam Topologia Algébrica ou Análise Complexa).
(2) Há 11 aulas obtivemos do Teorema Fundamental do Cálculo em ℝn (T. da Divergência) o Teorema de Green: Se  D⊂ℝ2 é um domínio regular, ∂D é união finita de curvas regulares simples fechadas e P,Q:(fecho de D)→ℝ são C1,  então ∫∫D(∂Q/∂x-∂P/∂y) dxdy = ∫∂DPdx+Qdy , em que o integral de linha no lado direito é no sentido positivo (ou contrário ao dos ponteiros do relógio) relativamente a D .

Proposição: Sejam g1,g2:[a,b]→ℝ2 caminhos seccionalmente regulares fechados simples, Cj=gj([a,b]) as curvas de Jordan que descrevem e Aj as componentes conexas abertas limitadas de ℝ2\Cj , para j=1,2 .  Se C2⊂A1, D=A1\(fecho de A2) e f:(fecho D)→ℝ2 é um campo vectorial C1 fechado, então ∫ f·dg1=±∫ f·dg2 , em que o sinal é - ou + conforme g1,g2 descrevem C1, C2 em sentidos em relação ao domínio regular D, resp., iguais ou opostos.

(Dem.: Com f=(P,Q) , do T. de Green, ∫∫D(∂Q/∂x-∂P/∂y) dxdy = ∫∂DPdx+Qdy . Como f é fechado, o lado esquerdo é 0 e, portanto, ∫∂DPdx+Qdy=0 . Se g1,g2 descrevem C1,C2 no mesmo sentido em relação a D (i.e. um no sentido positivo e outro no negativo em relação a um ponto em A2) , é ∫ f·dg1+∫ f·dg2=0 , logo ∫ f·dg1= - ∫ f·dg2 . Portanto, se g1,g2 descrevem C1,C2 em sentido opostos em relação a D (i.e. ambos no mesmo sentido em relação a um ponto em A2), é ∫ f·dg1= ∫ f·dg2 .)

Definição: Se g:[a,b]→ℝ2 é caminho seccionalmente regular fechado simples e a=(a1,a2)∈ℝ2 é um ponto que não pertence à curva C=g([a,b]) , chama-se número de rotação de g em relação ao ponto a a N(g,a)=(1/2π) ∫ fa·dg , em que fa(x)=f0(x-a) e f0(x,y)=(1/||(x,y)||2)(-y,x) (i.e. fa(x,y)= (1/[(x-a1)2+(x-a2)2)(-(y-a2),x-a1)) .

Proposição: Seja g:[a,b]→ℝ2 um caminho seccionalmente regular fechado simples que descreve a curva de Jordan C= g([a,b]), A a componente conexa aberta limitada de ℝ2\g([a,b]) e a∈ℝ2\g([a,b]) . Então:
(1)    Se a∈A , N(g,a)=±1 com + ou – conforme g descreve C no sentido positivo ou negativo em relação a a .
(2)    Se a∈ ℝ2\(A∪C) , N(g,a)=0 .

(Dem.: Já se tinha visto na parte final do estudo de integrais de linha que f0 é fechado em ℝ2\{0,0)} e, portanto, fa é fechado em S= ℝ2\{a}.
(1) Como a pertence ao conjunto aberto A , para r>0 suficientemente pequeno Br(a)⊂A e ∂Br(a) é um circunferência, logo uma curva regula simples contida em A , pelo que da proposição anterior, se h:[0,2π]→ℝ2, h(θ)=r(cos θ, sin θ) , é N(g,a) = (1/2π) ∫ fa·dg = ±(1/2π) ∫ fa·dh =±1 , com sinal + ou – conforme g descreve C no sentido positivo ou negativo.
(2) Do T. de Green, com fa=(P,Q), é ∫∫D(∂Q/∂x-∂P/∂y) dxdy = ∫∂DPdx+Qdy , em que D é a componente conexa aberta limitada de ℝ2\C e como, neste caso, fa é fechado no fecho de D , o integral no lado esquerdo é 0 e, portanto, N(g,a) = (1/2pi) ∫ fa·dg =0 .)

 Observações:
(1) Com este resultado o sentido de percurso de uma curva fechada por um caminho seccionalmente regular simples em ℝ2 em relação a um ponto fora da pode ser calculado por um integral de linha, assim como se a curva não contém o ponto na componente conexa limitada em que separa ℝ2.
(2) Este resultado pode ser aplicado para caminhos seccionalmente regulares fechados não simples g em ℝ2, incluindo os que dêem algumas voltas num sentido e outras noutro sentido em relação a um ponto a fora da curva que os caminhos descrevem, ou até também algumas voltas que não são à volta do ponto, e nesse caso N(g,a) é a diferença entre o número de voltas  em torno do ponto no sentido positivo e no sentido negativo. Em inglês chama-se winding number de um caminho fechado em ℝ2.


(Depois de terminar o lançamento do sumário da última aula (53ª Aula, 29/05/2020) não a consegui visualizar como usualmente e o sistema não me permitiu repetir o lançamento. Contudo verifiquei que o sumárioficou disponível na página da disciplina para os alunos)