51ª Aula – Continuação de aplicações do T. Fundamental do Cálculo para funções de várias variáveis: Revisão: T.de Helmoltz e existência de solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace em bolas de ℝn, e Propriedade de Valor Médio para funções harmónicas. Caracterização de funções harmónicas pela Propriedade de Valor Médio. Equação do movimento para a tensão de Cauchy da mecânica de meios contínuos.

26 Maio 2020, 11:30 Luis Magalhães

(Não houve aula presencial porque a Direcção do IST decidiu suspender as aulas presenciais devido ao surto de COVID-19. Por isso, a descrição abaixo é bastante detalhada)

Estudo para acompanhamento da matéria: pgs. 165-166, 150-154 do livro Luis T. Magalhães, Integrais em Variedades e Aplicações, 2ª Edição, Texto Editora, 1999. E exercícios correspondentes.

Observação: As duas últimas semanas anteriores de aulas (últimas 8 aulas anteriores) foram inteiramente dedicadas a vários exemplos muito relevantes de aplicações do T. Fundamental do Cálculo em ℝn . Uma dessas aplicações, há 7 aulas, foi o T. de Helmoltz sobre existência de potencial escalar e vectorial de um campo vectorial que se revê: Se f:S→ ℝ3 é C1 em S⊂ℝ3 aberto não é solenoidal e S é tal que a equação de Poisson lap φ=div f tem solução, então f tem potencial vectorial e escalar no sentido de ser f=rot A+grad φ .

Observação: A prova de existência de solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace em bolas de ℝn e a sua adaptação para a equação de Poisson enunciadas na última aula anterior garantem que o problema de Dirichlet numa bola B para a equação de Poisson lap f=ρ em B, f=u em ∂B, com ρ C1 no fecho de B e u contínua em ∂B também se obtém existência (e já se sabia unicidade) de solução C2 em B e contínua no fecho de B. Este resultado prova, com aplicação do T. de Helmoltz, que todo campo vectorial f C2 no fecho de uma bola B em ℝ3 tem potencial vectorial e escalar em B . Como se observou a seguir à prova do T. de Helmoltz, é possível provar que para a equação de Poisson lap φ=div f ter solução nas condições do T. de Helmoltz é suficiente (mas não necessário) que S seja limitado e a fronteira de S seja uma variedade-2 C2 em ℝ3 e que até podem ser obtidas condições suficientes mais gerais para existência de solução φ C2 em S e C0 no fecho de S da equação de Poisson lap φ=div f no âmbito do estudo de Equações Diferenciais Parciais.

Revisão: Na penúltima aula anterior obteve-se o T. de Valor Médio para Funções Harmónicas garantindo que se u é uma função C2 definida num conjunto aberto D⊂ ℝn é solução da equação de Laplace, então para toda bola B=BR(y) com fecho incluído em D é u(y) = [1/voln-1(∂B)] ∫∂B u dVn-1 .

Na última aula anterior obteve-se a Fórmula Integral de Poisson f(y) = (R2-||y||2) / [(n volnB1)R] ∫B u(x)/||y-x||n dVn-1(x) para a única solução em C2(B) ∩C0(∂B) do problema de Dirichlet para a equação de Laplace lap f=0 em B, f=u em ∂B, com u:∂B→ℝ contínua. Com esta fórmula pode-se provar que não só as funções harmónicas C2 num conjunto aberto D⊂ℝn têm essa propriedade de valor médio, como qualquer função contínua em D com essa propriedade em toda bola B com fecho incluído em D é solução da equação de Laplace em D. Portanto, a Propriedade de Valor Médio caracteriza as soluções da equação de Laplace.

 Caracterização de funções harmónicas pela Propriedade de Valor Médio: Uma função contínua u de um conjunto aberto D⊂ℝn em ℝ satisfaz a propriedade de valor médio u(y) = [1/voln-1(∂B)] ∫∂B u dVn-1 em toda bola B com fecho em D se e só se é solução da equação de Laplace em D.

(Dem.: Do T. de existência de solução da equação de Laplace numa bola de ℝn da última aula anterior, existe uma solução f do problema de Dirichlet para a equação de lap f=0 em B, f=u em ∂B. Do T. de Valor Médio para funções Harmónicas, f satisfaz a propriedade de valor médio no enunciado e, portanto, também v=u-f a satisfaz. Como a função identicamente 0 é solução do problema de Dirichlet para a equação de Laplace em B que é 0 em ∂B e, da unicidade de solução, v=0 em B e, portanto, u=f em B. Como f é solução da equação de Laplace em todas bolas B com fecho incluído em D, u é solução da equação de Laplace em D.)

Equação do movimento para a tensão de Cauchy da mecânica de meios contínuos

Em mecânica de meios contínuos um corpo é um subconjunto B de ℝ3 e um movimento de um corpo B é uma função injectiva C3 X:Bxℝ→ℝ3, em que B é chamada configuração de referência e X(p,t) é a posição do ponto pB no instante t∈ℝ . Designa-se Bt=X(B,t) o conjunto que o corpo B ocupa no instante t , e chama-se trajectória do movimento a T={(x,t): xBt, t∈ℝ} .  A condição de injectividade corresponde a assegurar que não há colapso de vários pontos noutros ao longo do movimento, e a hipótese do movimento ser C3 corresponde a supor uma deformação do corpo não só contínua mas suficientemente suave para ser continuamente diferenciável até 3ª ordem, e também que a velocidade num ponto x=X(p,t) correspondente a pB no instante t , definida por v(x,t)=∂X(p,t)/∂t e a aceleração a(x,t)=(∂/∂t)[v(X(p,t),t)]p=X-1(x,t)  são continuamente diferenciáveis.

Durante o movimento as interacções mecânicas entre partes do corpo ou do corpo com o exterior são descritas por forças. Supõe-se que as as forças entre partes do corpo satisfazem a hipótese de Cauchy: existe uma densidade de força s(n,x,t) definida em cada vector unitário n∈ ℝ3 e cada (x,t) na trajectória do movimento T tal que se M é uma vizinhança de coordenadas de uma variedade-2 em Bt e n é é uma normal unitária a M num ponto x∈M , s(n,x,t) é a força por unidade de área exercida na variedade-2 M sobre o material no lado para onde n aponta pelo material no outro lado de M . Esta propriedade é muito forte; em particular, implica que a densidade de força superficial num ponto é a mesma em variedades-2 que têm o mesmo plano tangente nesse ponto.

A força total de contacto na fronteira de um domínio regular D⊂B no instante t é ∫Dts(n(x),x,t) dV2(x)  , em que n(x) é a normal unitária a ∂Dt  no ponto x∈∂Dt  para o exterior de Dt . Para simplificar notação omite-se a dependência de x,t , que fica subentendida e escreve-se a força de tracção em ∂Dt  por  ∫Dts(n) dV2 . Para pontos de ∂Bt a força de tracção na superfície do corpo em movimento é  ∫Bts(n) dV2 , que é a força exterior aplicada na fronteira do corpo no instante t . O meio exterior também pode exercer forças volumétricas em pontos interiores ao corpo (e.g. gravidade) expressas por um campo vectorial de força interior (em inglês diz-se body force) b(x,t) que é a densidade de força por unidade de volume no ponto x e instante t , pelo que para cada domínio regular D⊂B a força exterior que não se deve a contacto na fronteira do corpo é  ∫Dtb dV3 . Se S2 é o conjunto de todos vectores unitários em ℝ3, chama-se sistema de forças para o corpo B no movimento com trajectória T a um par (s,b) de funções s:S2xT→ℝ3, b:T→ℝ3 que se supõem contínuas. A força total num domínio regular D⊂B no instante t , considerando sobreposição linear, é a soma da força de superfície em ∂Dt com a força interior em Dt , ou seja f(D,t) =  ∫Dts(n) dV2 +  ∫Dtb dV3 .

As relações básicas entre força e movimento são as leis de conservação de momento. O momento linear de D no instante t é L(D,T) =  ∫Dtρv dV3, em que ρ(x,t) é uma função C2 que dá a densidade de massa por volume no ponto x e instante t . A lei de conservação do momento linear de D é (dL/dt)(D,t) = f(D,t) . A conservação de massa é  ∫Dtρ(x,t) dx = m(Dt) = ∫D ρ0(p) dp , em que ρ0(p) é a densidade de massa por volume na configuração de referência. Com mudança de variáveis de integração (x,t)=X(p,t) no 1º integral obtém-se  ∫Dtρ(X(p,t),t) |det DX(p,t)| dx = ∫D ρ0(p) dp . Supondo o corpo com volume constante ao longo do movimento, o vol(Dt)=vol(D) para todo t e, como as funções integrandas são contínuas, considerando domínios em B que contêm um ponto p e enconhem para este ponto e dividindo ambos os lados da igualdade precedente por vol(D) obtém-se no limite ρ(X(p,t),t) |det DX(p,t)| = ρ0(p) . Portanto,

(dL/dt)(D,t) = (d/dt) ∫Dtρ(x,t) v(x,t) dx = (d/dt) ∫D ρ(X(p,t),t) v(X(p,t),t)  |det DX(p,t)| dp = (d/dt) ∫D ρ0(p) v(X(p,t),t) dp = ∫D ρ0(p) (∂/∂t)[v(X(p,t),t)] dp = ∫D ρ(X(p,t),t) (∂/∂t)[v(X(p,t),t)] )  |det DX(p,t)| dp =  ∫Dt ρ(x,t) a(x,t)] ) dx , em que a 2ª igualdade resulta de mudança de variáveis de integração, a 3ª da relação anterior correspondente a conservação de massa, a 4ª a aplicação da Regra de Leibniz, a 5ª a mudança de variáveis de integração e a 6ª à definição da aceleração a(x,t) . Portanto,

 ∫Dtρa dV3 = (dL/dt)(D,t) = f(D,t) =  ∫Dts(n) dV2 +  ∫Dtb dV3 , pelo que a lei de conservação de momento linear é  ∫Dtρa dV3 =  ∫Dts(n) dV2 + ∫Dtb dV3 (corresponde a Lei de Newton do movimento de uma massa pontual (força=massa x aceleração) adaptada ao movimento de um corpo em mecânica de meios contínuos.

Se x∈∂Bt e (u1,u2,u3) é uma base ortonormal de ℝ3 e k é um vector unitário arbitrário tal que k·uj>0 para j=1,2,3, e δ>0 , considerando o tetraedro Tδ com faces com normais exteriores k, -u1, -u2, -u3 e arestas os segmentos de recta de x a cada x+uj para j=1,2,3 e de x+uj a x+uk  para j≠k , com j,k=1,2,3, em que x é o vértice oposto à face normal a k e a distância de x a essa face é δ , para δ>0 suficientemente pequeno TδBt . Como |ρa-b| é uma função contínua, do Teorema de Weierstrass tem um máximo C em Tδ e, da lei de conservação de momento linear, |  ∫Dts(n) dV2 | = |  ∫Dta-b) dV3 | ≤ C vol(Tδ) . A área A(δ) da face de Tδ normal a k é proporcional a δ2 e vol(Tδ) é proporcional a δ3, pelo que da desigualdade precedente, [1/ A(δ)]  ∫Dts(n) dV2 → 0 quando δ→0 . Como s é contínua, o integral de s(k) sobre a face de Tδ normal a k converge para s(k,x) quando δ→0 , e analogamente o integral de s(-uj) sobre a face normal a uj converge para (k·uj)s(-uj) quando δ→0 , pelo que s(k,x)+∑j(k·uj)s(-uj) = 0 e, portanto, s(k,x) = -∑j(k·uj)s(-uj) . Considerando esta fórmula para k∈ℝ3, a função ks(k,x,t) satisfaz as condições de linearidade para k no conjunto de vectores em ℝ3 tal que k·uj>0 para j=1,2,3 . Escolhendo bases diferentes, obtém-se que T(x,t): ℝ3→ℝ3 tal que T(x,t) (k)= -∑j(k·uj)s(-uj) é uma transformação linear (uma consequência é a lei de acção e reacção de Newton s(-n,x,t) = - s(n,x,t) ). Chama-se a T(x,t)  tensor de tensão de Cauchy em (x,t) e supõe-se que a função (x,t)↦T(x,t)   é C1. Para cada (x,t) a representação matricial de T(x,t)  na base canónica de ℝ3 é uma matriz 3x3 . Designando Tj(x,t) o vector de ℝ3  com componentes que são as componentes da linha j da representação matricial de T(x,t)  na base canónica de ℝ3, define-se div T = (div T1, div T2, div T3), em que div Tj é a divergência da função xTj(x,t) com t fixo (como cada div Tj é invariante com transformações de coordenadas, também div T é).

Como s(n,x,t)=T(x,t) (n) , a lei de conservação de momento linear  ∫Dtρa dV= ∫Dts(n) dV2 + ∫Dtb dV3 pode-se escrever  ∫Dtρa dV3 = ∫DtTn dV2 +  ∫Dtb dV3 , em que Tn representa o produto da representação matricial de T por n , ambos na base canónica de ℝ3. Do T. Fundamental do Cálculo em ℝ3 (T. da Divergência),  ∫Dtρa dV3 =  ∫Dtdiv T dV2 +  ∫b dV3  e, portanto,  ∫Dta div Tb] dV3 = 0 . Considerando domínios regulares D que contêm um ponto pB e encolhem para este ponto, como a função integranda no último integral é contínua, dividindo pelo volume de D e considerando o limite obtém-se a equação ρa div Tb = 0 em cada ponto (x,t)∈Bt, chamada equação do movimento do corpo. É mais um importante exemplo de uma equação diferencial parcial do conjunto das leis de conservação a que pertence a equação da continuidade.


(depois de terminar o preeenchimento do sumário da última aula (53ª Aula, dia 29/05/2020) não a consegui visualizar na minha área, porque o sistema não a disponibiliza do modo usual e não me deixa repetir o lançamento, mas verifiquei que estava dispinível na página da disciplina para os alunos)