3ª Aula - Continuação de noções topológicas em ℝn: conjuntos simultanemaente abertos e fechados, dependência das noções topológicas não só da geometria do conjunto mas também do espaço em que são considerados, noções de topologia, espaço topológico, conjunto aberto e vizinhança de um ponto num espaço topológico. Pontos isolados e pontos de acumulação de subconunto de ℝn. Definição de subconjunto denso num conjunto. Exemplos.
20 fevereiro 2020, 13:00 • Luis Magalhães
Exemplos: D=ℝn. int D=D , ∂D=ext D=∅ , D=D . D=ℝn é aberto e fechado. ∅=ℝn\ℝn também é aberto e fechado.
Observação: não há outros subconjuntos de ℝn simultaneamente abertos e fechados.
Proposição: D⊂ℝn é aberto e fechado ⇔ D=ℝn ou D=∅ .
Dem.: (⇐) int ℝn=ℝn, ∂D=ext D=∅ , ℝn é aberto e fechado. (⇒) Se S≠∅ e S≠ℝn, ∃ a∈S e b∈ℝn\S . Seja Ts=sup{T∈[0,1]: a+t(b-a)∈S para 0≤t<T} (existe do axioma do supremo da definição de números reais). x=a+Ts(b-a)∈∂S . Se x∈S , S não é aberto, pelo que tem de ser x∈ℝn\S e S não é fechado. Contradição! Logo, S=∅ ou S=ℝn.
Observação: A prova usou a definição dos números reais. Em certos outros espaços pode haver outros conjuntos abertos e fechados além do espaço total e ∅ . Voltaremos ao assunto mais tarde.
Exemplo: Segmento de recta de comprimento 1 sem as extremidades, em ℝ,ℝ2,ℝ3, resp., ]0,1[, ]0,1[x{0}, ]0,1[x{0}2, é, resp. aberto, nem aberto nem fechado, nem aberto nem fechado, e tem interior, resp., ]0,1[, ∅, ∅ (noções topológicas dependem do espaço em que se considera o conjunto).
Observação: A topologia de ℝn é o conjunto de todos os subconjuntos abertos de ℝn, ou seja T={D⊂ℝn: D=int D}.
Definição: Uma topologia num conjunto X≠∅ é um conjunto T de subconjuntos de X tais que:
(1) X,∅∈T,
(2) uniões de elementos de T pertencem a T,
(3) intersecções finitas de elementos de T pertencem a T.
Um conjunto X≠∅ com uma topologia em X chama-se espaço topológico.
Definição: Um subconjunto S de um espaço topológico com topologia T diz-se aberto se pertence a T. Uma vizinhança de um ponto de um espaço topológico é qualquer aberto que contém o ponto.
Observação: É neste contexto que se podem considerar noções topológicas em espaço sem a noção de distância.
Definição: Ponto isolado de D⊂ℝn (∃R>0BR(a)∩D={a}), ponto de acumulação de D (∀R>0(BR(a)\{a})∩D≠∅). D'=conjunto dos pontos de acumulação de D.
Proposição: Se D⊂ℝn, D\D'=conjunto dos pontos isolados de D (se a∈D, a não é ponto isolado de D ⇔ a∈D').
Exemplos: Em ℝ: (1) {1/n:n∈ℕ}, (2) ℕ, (3) ℚ, (4) ℝ\ℚ . (1) e (2) são conjuntos de pontos isolados. (3) e (4) não têm pontos isolados. (1) tem 1 só ponto de acumulação, que é o 0 , (2) não tem pontos de acumulação, os pontos de acumulação de (3) e (4) são todos os números reais. Apesar de #ℝ\ℚ>#ℚ , é (ℝ\ℚ)'=ℚ'=ℝ e, também, ℝ\ℚ = ℚ =ℝ ; ℝ\ℚ e ℚ não são abertos nem fechados.
Definição: Diz-se que S⊂D é denso em D se S=D .
Observação: ℚ e ℝ\ℚ são densoos em ℝ .