53ª Aula - Caracter intrínseco de rot f( a)·n , para  f campo vectorial definido e C1 numa vizinhança de um ponto de ℝ3. Homotopia de caminhos simples fechados num subconjunto de ℝn. Invariância de integrais de linha de campos fechados num subconjunto de ℝn sobre caminhos homotópics nesse subconjunto. Motivação para a noção de conjunto simplesmeonte conexo e a equivalência de campos C1 gradiantes e fechados em conjuntos simplesmente conexos. Definição e exemplos de conjuntos simplesmente conexos em ℝ2 e ℝ3. Suficiência de conjunto simplesmente conexo para um campo fechado C1 ser equivalente a ser gradiante. Definição de laplaciano e relações entre os operadores diferenciais gradiante, rotacional, divergência e laplaciano. Regras de derivação com estes operadores diferenciais. Definição de campo solenoidal.  

30 Maio 2019, 13:00 Luis Magalhães

Revisão: Caracter intrínseco (invariante com transformações de coordenadas, lineares ou não) de rot  f( a) ·n , para  f campo vectorial definids e C 1 numa vizinhança de um ponto de ℝ 3.

Descrição geométrica de rot  f( a) : é o vector com direcção normal ao plano em que o limite da circulação em curvas de Jordan no plano que passa em  a e contém  a no interior da porção do plano que delimita por unidade de área limitada quando a curva tende para  a é máxima, com sentido para de onde se vê a circulação no sentido antihorário, e intensidade igual ao valor do limite referido. |rot  f( a) ·n| dá o valor do limite análogo da circulação em curvas de Jordan no plano normal a  n . Em particular, se rot  f( a)≠0 , o valor limite da circulação em planos paralelos a rot  f( a) que passam em  a é 0 .

Definição: Se S⊂ℝn, caminhos fechados go,g1:[a,b]→S são homotópicos em S se existe uma função contínua H:[0,1]x[a,b]→S tal que H(s,a)=H(s,b) , para s∈[0,1] , com H(0,t)=g0(t) e H(1,t)=g1(t) para t∈[a,b] . Chama-se a H homotopia em S de g0 para g1 . Se H é Ck chama-se homotopia Ck em S e diz-se que os caminhos fechados g0 e g1 são homotópicos-Ck em S .

Motivação da definição de conjunto simplesmente conexo e de em conjuntos simplesmente conexos capos fechados C1 serem precisamente os campos gradiantes.

Proposição: Invariância de integrais de campos vectoriais contínuos fechados num conjunto aberto  S⊂ℝn em caminhos fechados seccionalmente regulares homotópicos em S.
(Dem. Na prova do T. de Stokes obteve-se com o T. de Green: se D é domínio regular de vizinhança de coordenadas de variedade-2 CM em ℝn parametrizada por g:D→ℝn C2, então ∫∫g-1(D) (D2g)t[(Df)-(Df)t](D1g) = ∮∂Ddβ, em que β=gα e α é caminho que descreve g-1(∂D) no sentido antihorário. A mesma fórmula é válida com g a homotopia e β a diferença dos caminhos fechados homotópicos. Como f é um campo fechado, Df-(Df)t=0 e os integrais nos caminhos homtópicos C2 são iguais. Como homotopias C2 podem ser uniformemente aproximadas por homotopias C0 obtém-se o resultado).

Definição: Diz-se que um conjunto conexo S⊂ℝn é simplesmente conexo se todo caminho fechado em S é homotópico a um caminho constante.

Observação: Um conjunto conexo é simplesmente conexo se cada curva fechada nele pode ser deformada para um ponto sem sair desse conjunto. 

Exemplos geométricos em ℝ2 e ℝ3 de conjuntos simplesmente conexos e não simplesmente conexos.

Proposição: Se S⊂ℝn é aberto e f:S→ℝn é C1, uma condição suficiente para ser (f fechado em S ⇔ f gradiante em S) é que S seja simplesmente conexo.

Observação: Esta condição suficiente é mais fraca do que a anterior de S ser um conjunto em estrela (i.e. conjuntos em estrela são simplesmente conexos). Em ℝ2 a condição é necessária e suficiente; obter condições necessárias e suficientes em ℝn com n>2 requer mais conhecimento de topologia algébrica.

Operadores diferenciais do Teorema Fundamental do Cálculo em ℝ, ℝn, ℝ3, ℝn, para integrais, resp., simples, de linha, de superfície, múltiplos, resp., f', grad f, rot f, div (resp., df/dt, ∇f, ∇x, ∇·f). Relações entre estes operadores para campos C2 rot grad φ=0 e div rot f=0 , e em variedades-m compactas M com campos C1 ∫M∇φ·dg=0 ,  ∫rot f·n=0 , em que g é caminho regular simples fechado que descreve curva M e n normal unitária a M contínua.

Outras relações entre os operadores diferenciais referidos:
(1) Em ℝn: div grad φ = lap φ em que  lap φ = ∂2φ/∂x12+ ··· + ∂2φ/∂xné chamado laplaciano de φ e também se designa  ∇2φ ou Δφ .
(2) Em ℝn: rot rot = grad div - lap f , com lap f = (lap f1, lap f2, lap f3) (esta fórmula relaciona os 4 operadores diferenciais considerados).

Regras de derivação:
(1) grad, rot e e div são transformações lineares em espaços de campos com derivadas parciais, pelo que aplicados a uma combinação linear de campos dão a combinação com os mesmos coeficientes da sua aplicação a cada campo.
(2) para produtos de campos escalares por campos escalares ou vectoriais: 
grad(φψ) = ψ grad φ + φ grad ψ , rot(φg) = (grad φ)x+ φ rot , div(φg) = (grad φ)·g + φ div g .
(3) para produtos internos ou externos de campos vectoriais: 
em ℝn, grad(f·g)=(grad)f+(grad)g+fxrot g+gxrot f ; em ℝ3, rot(fxg)=(divg)f-(divf)g+(grad)f-(grad)g e div(fxg)=(rot f)·g-(rot f) , em que  (grad)f=g1∂f1/∂x1+ ··· +gn∂fn/∂xn.