54ª Aula - Revisão: as "derivadas" a integrar em domínios regulares nas várias versões do TFCálculo (f', grad f, div f, rot f) e as fórmulas em ℝ3 rot grad f=0 e div rot f=0 se f é C2 .  Campos C1 em subconjuntos em estrela de ℝ3 são solenoidais se e só se são rotacionais de algum campo vectorial. Definição de potencial vectorial. Referência a extensão do TFCálculo para o caso geral de variedades-m em ℝn (Teorema de Stokes com formas diferenciais). Exemplos geométricos de identificação de divergência e rotacional em casos simples.

31 Maio 2019, 11:30 Luis Magalhães

Revisão: Nas várias versões do TFCálculo dadas as "derivadas" integradas em domínios regulares em variedades-m em ℝ são: (n=m=1) f' ; (n∈ℕ, m=1) grad f ; (n=m∈ℕ) div f ; (n=3, m=2) rot f (as derivadas a considerar dependem das simensões da variedade e do espaço em que é considerada). Em ℝ3 se f é C2, rot grad f=0 e div rot f=0 .

Definição: Se rot f=0 em ℝ3 diz-se que f é irrotacional. Se div f=0 diz-se que f é solenoidal.

Pode-se provar analogamente a que para campos C1 em conjuntos abertos em estrela S⊂ℝ(f é fechado em S ⇔ f é gradiante em S) o que para n=3 é (f é irrotacional em S ⇔ f é gradiante em S) que (f é solenoidal em S ⇔ f é rotacional em S) e se f=rot A=rot B , então B=A+grad φ para algum campo escalar φ C1. (Dem.: (⇐) já provado. (⇒) Analogamente ao caso referido, considera-se o centro do conjunto em estrela e define-se A por integração sobre segmentos de recta substituindo o produto interno por externo A(x)=∫[0,1]f(tx)xdt , aplica-se a regra de Leibniz e a 2ª fórmula em (3) para obter rot A(x)=∫[0,1](∂/∂t)[t2f(tx)]dt=f(x) . Se rot A=rot B , A-B é irrotacional e, portanto, é gradiante).

Definição: Se f=rot A num conjunto aberto S⊂ℝ3 diz-se que A é um potencial vectorial de 

Observação: 
(1) Pode-se calcular um potencial vectorial A de um campo vectorial f C1 num subconjunto aberto em estrela de ℝ3, considerando uma das compontes de A nula, por primitivação de duas das equações para as componentes rot A=f e garantindo depois que as constantes de primitivação em função das variáveis consideradas fixas nas derivadas parciais primitivadas são tais que a equação da restante componente é satisfeita.
(2) O resultado precedente é que campos C1 solenoidais em subconjuntos de abertos em estrela S⊂ℝtêm potencial vectorial. Se f não é solenoidal e S é tal que a equação de Poisson lap φ=div f tem solução (para o que é suficiente (mas não necessário) que S seja limitado e a fronteira de S seja C2), então f tem potencial vectorial e escalar no sentido de ser f=rot A+grad φ, pois  como div(f-grad φ)=0 , f-grad φ é solenoidal e tem potencial vectorial A (Teorema de Helmoltz).

Observações: 
(1) Obtiveram-se TFC para variedades-m em ℝn nos casos m=1 e n∈ℕ (p/ integrais de linha), m=n (p/ integrais múltiplos ou T. da Divergência), m=2 e n=3 (T. de Stokes em variedades-2 em ℝ3). Em geral, para 1≤m≤n , n∈ℕ , também há um TFC, mas tem de se considerar funções que não são campos vectoriais em ℝn. Como as relações de expansão/contracção de volume-m por parametrizações de variedades-m em ℝn correspondem às várias formas de seleccionar m linhas da matriz jacobiana Dg , que é nxm , sem repetições e independentemente da ordenação é combinações de n , m a m , ou seja k=n!/(m!(n-m)!) , as funções a considerar para integração em variedades-m em ℝn devem ter k componentes escalares. 
Para m=1 é k=n e, portanto. são campos vectoriais em ℝn que é o caso de integrais de linha; para m=n é k=1 e, portanto, são campos escalares que é o caso de integrais múltiplos; para m=2 e n=3 é k=3 e, portanto, são campos vectoriais em ℝ3 que é o caso de integrais em variedades-2 em ℝ3; para m=n-1 e n∈ℕ é k=n e, portanto, são campos vectoriais em ℝn que é o caso de fluxos de campos vectoriais em fronteiras de domínios regulares em ℝn. Contudo, por exemplo, para m=2 e n=4 é k=6 , e para m=2 e n=5 ou m=3 e n=5 é k=10 , e, portanto, integrais em variedades-2 em ℝ4 devem ser de funções com 6 componentes escalares, integrais em variedades-2 em ℝ5 ou em variedades-3 em ℝ5 devem ser de funções com 10 componentes escalares, e assim sucessivamente. Estas funções a integrar em variedades-m em ℝn, para 1≤m≤n , n∈ℕ , com n!/(m!(n-m)!) componentes chamam-se formas diferenciais de ordem m ou formas-m .

A fórmula do TFC ou T de Stokes em variedades-m  em ℝn é simplesmente  ∫Aodω = ∫∂Aoω , válida se A é um domínio regular numa variedade-m em ℝn orientável, o em Ao é uma orientação desta variedade e em ∂Ao é uma orientação da variedade-(m-1) ∂A consistente com a anterior, ω é uma forma-(m-1) C1 no fecho de A e dω  é uma forma-m a que se chama derivada exterior de ω , cuja fórmula se pode obter analogamente a como se obtiveram a divergência e o rotacional por aplicação do T da Divergência no domínio de uma parametrização da variedade-m e considerando o operador diferencial que resulta após aplicação da parametrização no integral na variedade-m .
(2) O T de Stokes com formas diferenciais unifica os TFC considerados anteriormente. Em particular, no caso de formas-(n-1) em ℝn a derivada exterior corresponde à divergência do campo vectorial associado, no caso de formas-0 em ℝn corresponde ao gradiante  e no caso de formas-1 em ℝ3 corresponde ao rotacional.
(3) Analogamente ao referido para os casos tratados, por aproximações de funções contínuas por funções C1 ou C2 obtém-se a versão geral do T. de Stokes para as correspondentes  variedades com cantos.
(4) A derivada exterior de uma forma-m é um operador diferencial intrínseco, por razão análoga da divergência e do rotacional.
(5) Define-se forma ω fechada se dω=0 , que para formas-(n-1) corresponde a campos vectoriais solenoidais e para formas-1 em ℝ3 corresponde a campos vectoriais irrotacionais. Define-se forma ω exacta se ω=dγ , generalizando tanto campos que são um gradiante como campos que são um rotacional. Pode-se provar de modo análogo a como se fez para campos irrotacionais ou solenoidais num conjunto em estrela que num conjunto em estrela uma forma fechada é exacta.

Exemplos geométricos de campos vectoriais no plano com divergência >0, nula e >0 e comos e podem detectar geometricamente, e analogamente de campos vectoriais no espaço tridimensional invariantes com translação num eixo de istema de coordenadas ortogonal para rotacional.