Planeamento
Aulas de Problemas
1ª Aula de Problemas
Problemas sobre esboço de subconjuntos de R^n e cortes por planos paralelos aos planos coordenados.
2ª Aula de Problemas
Resolução de problemas sobre limites e continuidade.
3ª Aula de Problemas
Resolução de problemas sobre derivadas parciais, derivadas direccionais e diferenciabilidade de funções em R^n.
4ª Aula de Problemas
Resolução de problemas sobre derivação de funções compostas, regra da cadeia, vectores e normais a linhas
e superfícies em R^n.
5ª Aula de Problemas
Resolução de problemas sobre derivadas de ordem superior à primeira e estudo de extremos de campos escalares em R^n.
6ª Aula de Problemas
Resolução de problemas sobre o teorema da função inversa e o teorema da função implícita.
7ª Aula de Problemas
Resolução de problemas sobre variedades diferenciáveis em R^n (cálculo de espaços tangente e normal) e extremos condicionados.
8ª Aula de Problemas
Resolução de problemas sobre integrais múltiplos: cálculo de integrais e inversão da ordem de integração.
9ª Aula de Problemas
Resolução de problemas sobre inversão de ordem de integração em integrais múltiplos e coordenadas polares.
10ª Aula de Problemas
Resolução de problemas sobre mudança de variáveis de integração.
11ª Aula de Problemas
Resolução de problemas sobre integrais de campos escalares em variedades.
12ª Aula de Problemas
Resolução de problemas sobre integrais de linha de campos vectoriais, campos gradientes e potenciais.
13ª Aula de Problemas
Resolução de problemas sobre os Teoremas de Green, Divergência e Stokes.
Aulas Teóricas
1ª Aula Teórica
Breve apresentação do programa, blibliografia e método de avaliação.
2ª Aula Teórica
Topologia de R^n: revisão das noções de produto interno e norma em R^n; definição de bola
aberta, interior, exterior, fronteira e fecho de um subconjunto de R^n. Subconjuntos fechados
e subconjuntos abertos; exemplos.
3ª Aula Teórica
Sucessões em R^n; convergência de sucessões; Teorema de Bolzano Wierstrass.
4ª Aula Teórica
Funções de R^n em R^m; gráfico e conjuntos de nível.
5ª Aula Teórica
Definição de limite de uma função num ponto; limites direccionais; Definição de continuidade e propriedades básicas de funções contínuas.
6ª Aula Teórica
Exemplos sobre limites e continuidade de funções f:R^n->R^m.
7ª Aula Teórica
Definição de derivadas parciais e derivada direccional; definição de função diferenciável; relação entre diferenciabilidade e continuidade.
8ª Aula Teórica
Relação entre derivada e derivada direccional; funções de classe C^1; exemplos.
9ª Aula Teórica
Demonstração da diferenciabilidade das funções de classe C^1.
10ª Aula Teórica
Regra de derivação da função composta; regra da cadeia; exemplos.
11ª Aula Teórica
Vector tangente a um subconjunto de R^n; Propriedades do gradiente de um campo escalar: perpendicular
aos conjuntos de nível e dá direcção de crescimento máximo do campo.
12ª Aula Teórica
Definição de derivadas parciais de ordem superior à primeira. Definição de função de classe C^k. Lema de Schwarz.
13ª Aula Teórica
Fórmula de Taylor de ordem 2 para campos escalares em R^n; exemplos.
14ª Aula Teórica
Definição de ponto de extremo local para campos escalares em R^n; ponto de estacionariade e ponto de sela; aplicação da fórmula de Taylor de ordem 2 ao estudo de extremos.
15ª Aula Teórica
Exemplos de estudo de extremos de campos escalares em R^n.
16ª Aula Teórica
Teorema da Função Inversa; exemplos.
17ª Aula Teórica
Exemplos de aplicação do teorema da função inversa. Teorema da função implícita: exemplos.
18ª Aula Teórica
Teorema da função implícita: exemplos e demonstração.
19ª Aula Teórica
Definição de variedade diferenciável em R^n; exemplos.
20ª Aula Teórica
Espaço tangente e espaço normal a uma variedade diferenciável em R^n; plano tangente e plano normal passando por um ponto da variedade; exemplos.
21ª Aula Teórica
Método dos multiplicadores de Lagrange; teorema de Weirstrass; exemplos.
22ª Aula Teórica
Exemplos de aplicação do método dos multiplicadores de Lagrange ao estudo de extremos condicionados.
23ª Aula Teórica
Parametrizações de variedades-m em R^n; aplicação ao cálculo do espaço tangente; exemplos.
24ª Aula Teórica
Resolução de exercícios de revisão para o teste.
25ª Aula Teórica
Resolução de exercícios de revisão para o teste.
26ª Aula Teórica
Resolução de exercícios de revisão para o teste.
27ª Aula Teórica
Integrais múltiplos em intervalos compactos: motivação, definição e exemplos.
28ª Aula Teórica
Teorema de Fubini: enunciado e demonstração; conjuntos mensuráveis; integrais em domínios distintos de intervalos; volume n-dimensional.
29ª Aula Teórica
Aplicação do teorema de Fubini ao cálculo de integrais múltiplos: exemplos.
30ª Aula Teórica
Aplicação do teorema de Fubini ao cálculo de integrais múltiplos: exemplos.
31ª Aula Teórica
Transformações de coordenadas: motivação, definição e exemplos - coordenadas polares em R^2 e cilíndricas em R^3.
32ª Aula Teórica
Teorema de mudança de coordenadas: demonstração e exemplos - coordenadas esféricas.
33ª Aula Teórica
Teorema de Mudança de Variáveis: exemplos.
34ª Aula Teórica
Regra de Leibnitz; exemplos.
35ª Aula Teórica
Integral de um campo escalar numa curva: definição e exemplos.
36ª Aula Teórica
Integrais de campos em escalares em superfícies: definição e exemplos.
37ª Aula Teórica
Integrais de campos escalares em superfícies: fórmula alternativa e exemplos.
Definição de intergrais de campos escalares em variedades de dimensão superior a 2. Exemplos.
38ª Aula Teórica
Integrais de linha de campos vectoriais; definição e exemplos. Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha; campos gradientes (conservativos): exemplos e condição necessária.
39ª Aula Teórica
Relação entre campos fechados e gradientes: exemplo de um campo fechado que não é um gradiente.
Caminhos homtópicos; invariância homotópica para integrais de campos fechados.
40ª Aula Teórica
Domínios simplesmente conexos: relação entre campos fechados e gradientes em domínios simplesmente conexos.
41ª Aula Teórica
Domínios regulares em R^2: orientação induzida na fronteira; Teorema de Green. Aplicação: invariância de homotopia para campos fechados.
42ª Aula Teórica
Teorema de Green: exemplos.
43ª Aula Teórica
Superfícies orientáveis: definição e exemplos. Fluxo de um campo vectorial através de uma superfície orientável: definição e exemplos.
44ª Aula Teórica
Teorema da divergência; exemplos.
45ª Aula Teórica
Teorema da Divergência: exemplos: fluxo do campo eléctrico gerado por uma carga pontual.
46ª Aula Teórica
Bordo de uma superfície orientável; orientação induzida no bordo; Teorema de Stokes; exemplos.
47ª Aula Teórica
Domínios conexos-2; relação entre campos de divergência nula e campos rotacionais. Cálculo do potencial vector de um campo rotacional.
48ª Aula Teórica
Aplicação dos Teoremas de Stokes e da Divergência para o cálculo do fluxo de um campo rotacional.
49ª Aula Teórica
Revisões para o 2º teste.
50ª Aula Teórica
Revisões para o 2º teste.