Guias de estudo das aulas teóricas


Aula teórica 1 (7 Out): Guia de estudo
Introdução.
As propriedades algébricas dos números reais: os axiomas de corpo.

Aula teórica 2 (9 Out) Guia de estudo
A relação de ordem na reta real.
Os axiomas de ordem.
Desigualdades.
Módulos.

Aula teórica 3 (12Out) Guia de estudo. Quadros da aula:1, 2, 3, 4, 5, 6.
Os números naturais.
O método de indução matemática. Exemplos.

Aula teórica 4 (14Out) Guia de estudo. Quadros da aula:1, 2, 3, 4, 5, 6.
Os números racionais.
Os números racionais satisfazem os axiomas de corpo e de ordem.
Não existência de solução de x2=2 no conjunto dos racionais.
Conclusão estes axiomas não chegam para caracterizar o conjunto dos reais.
Ínfimo, supremo, mínimo e máximo de um conjunto.
O axioma do supremo.

Aula teórica 5 (16Out) Guia de estudo. Quadros da aula:1, 2, 3, 4, 5.
Consequências do axioma dos supremo.
Existência de solução de x2=2 no conjunto dos reais. Números irracionais.
A densidade do reais e dos irracionais em R: em qualquer intervalo 
não vazio existem infinitos números racionais e infinitos números irracionais. 
Exemplos de ínfimos, supremos, mínimos e máximos de subconjuntos de racionais e irracionais.

Aula teórica 6 (19Out) Guia de estudo. Quadros da aula:1, 2, 3, 4, 5, 6.
Sucessões.
Sucessões definidas por recorrência.
Sucessões monótonas.
Sucessões minoradas, majoradas e limitadas.
Limite de sucessões (início).

Aula teórica 7 (21Out) Guia de estudo. Quadros da aula:1, 2, 3, 4, 5.
Limites de sucessões. Exemplos extra.
A unicidade do limite.
As propriedades algébricas dos limites de sucessões. Exemplos.
A independência do limite relativamente a um número finito de ordens.
O limite de sucessões e a relação de ordem.

Aula teórica 8 (23Out) Guia de estudo. Quadros da aula:1, 2, 3, 4, 56.
Sucessões enquadradas:
O Teorema das sucessões enquadradas. Produtos de infinitésimos com sucessões limitadas.
Relação entre convergência, limitação e monotonia:
A limitação das sucessões convergentes. O Teorema das sucessões monótonas e limitadas.

Aula teórica 9  (26Out) Guia de estudo. Quadros da aula:1, 2, 3, 4, 5.
Subsucessões. Os sublimites de uma sucessão. Critério de convergência baseado nas subsucessões..
Limites de sucessões definidas por recorrência.
 A recta acabada: limites infinitos (início).

Aula teórica 10 (28Out) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Limites  infinitos: convergência na recta acabada.
Propriedades da convergência na recta acabada:
Propriedades algébricas na recta acabada.
Indeterminações (início).

Aula teórica 11 (30Out) Aula gravada. Guia de estudo. Quadros da aula:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ,9.
Indeterminações (continuação).
Comparação do crescimento de sucessões positivas.
Um critério de convergência para 0 ou infinito baseado no estudo de lim un+1/un.
Escala de sucessões. Exemplos.
Fim do estudo das sucessões.
Funções reais de variável real (início).

Aula teórica 12 (2Nov) Guia de estudo.
Funções reais de variável real. 
Funções elementares e algumas das suas propriedades.
Início ao estudo do limite e continuidade das funções reais de variável real:
pontos aderentes ao domínio.
(Esta última parte constará do guia de estudo da aula 13).

Aula teórica 13 (4Nov) Guia de estudo.
Limites e continuidade de uma função num ponto.
A definição de limite.
Limites de funções usando sucessões: o limite à Heine.
Equivalência entre as duas definições de limite.

Aula teórica 14 (6Nov) Guia de estudo. Quadros das aulas: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Limites e continuidade de uma função num ponto.
Definição de continuidade.
O carácter local da continuidade.
Limites laterais e continuidade.

Aula teórica 15 (9Nov) Guia de estudo. Quadros das aulas:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Limites na recta acabada R. Limites infinitos.
Operações algébricas com limites em R.
Alguns limites notáveis.

Aula teórica 16 (11Nov) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Limites por enquadramento na recta acabada R.
Limite da função composta. Mudanças de variável.
Continuidade da soma, produto, quociente e composta de funções contínuas.
Prolongamento por continuidade.
Funções contínuas em intervalos: início (fará parte do guia de estudo da aula teórica 17). 

Aula teórica 17 (13 Nov) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Funções definidas em intervalos: propriedades globais da continuidade.
O Teorema de Bolzano (ou do valor intermédio) e suas consequências.
Contradomínios de funções contínuas em intervalos.
Funções contínuas transformam intervalos em intervalos.
Funções estritamente monótonas em intervalo cujas imagens são intervalos são contínuas. 

Aula teórica 18 (16 Nov) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Conclusão do estudo da continuidade de funções em intervalos:
O Teorema da continuidade da função inversa.
O Teorema de Weierstrass.
Início da Diferenciabilidade:
Definição de derivada.
 A continuidade das funções diferenciáveis.

Aula teórica 19 (18Nov) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
Regras de derivação.
Derivadas de algumas funções elementares.
Derivadas da soma, diferença, produto, quociente de funções diferenciáveis.
Derivada da função composta.

Aula teórica 20 (20Nov) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Regras de derivação (conclusão): a derivada da função inversa.
Derivadas laterais: aplicação ao estudo da diferenciabilidade num ponto.
A recta tangente. Pontos críticos.
Extremos locais. Relação com pontos críticos.

Aula teórica 21 (23Nov) Guia de estudo. Quadros da aula 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Os Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy.
Aplicações: zeros de funções, intervalos de monotonia e extremos, estimativas sobre funções.

Aula teórica 22 (25 Nov) Guia de estudo. Quadros da aula 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Consequência do Teorema de Cauchy: a Regra de Cauchy.
Aplicações.
Indeterminações 00,?0, 1?.
Aplicação ao cálculo de derivadas laterais.

Aula teórica 23 (27Nov) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Concavidades. 
Aplicação da segunda derivada ao estudo das concavidades de uma função de classe C2.
Assíntotas.

Aula teórica 24 (30Nov) Aula gravada. Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Cálculo Integral (início).
Primitivação. Propriedades gerais das primitivas.
Primitivação imediata e quase-imediata.
(por lapso, na gravação digo que é a aula 25 em vez da 24...)

Aula teórica 25 (2Dez) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (este quadro extra contém mais um exemplo)
Primitivas de polinómios trigonométricos.
O método de primitivação por partes.

Aula teórica 26 (4Dez) Guia de estudo. Quadros da aula 1, 2, 3, 4, 5, 6
Primitivação de funções racionais.

Aula teórica 27 (7Dez) Aula gravada. Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
1ª. parte: Primitivação de funções racionais (conclusão)
Método de primitivação por substituição de variável.

2ª. parte: O integral (início).
Interpretação geométrica do integral e propriedades elementares do integral:
a linearidade e a aditividade dos integrais.

O guia de estudo da 2ª. parte está junto com o da aula teórica 28.

Aula teórica 28 (9Dez) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
O integral (continuação).
O Teorema da média.
O Teorema Fundamental do Cálculo e a regra de Barrow.

Aula teórica 29 (11Dez) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5
Funções dadas como integrais indefinidos.
Aplicação do integral ao cálculo de áreas de subconjuntos do plano.

Aula teórica 30 (14Dez) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6..
O Integral. Definição
Somas inferiores e superiores de Darboux.num cojunto
Definição de integral.
Exemplos de integrabilidade e de não integrabilidade pela definição de integral.

Aula teórica 31 (16Dez) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6..
O Integral (continuação).
Critério geral de integrabilidade. Exemplos.
A integrabilidade das funções monótonas e limitadas num intervalo limitado.
A integrabilidade das funções contínuas num intervalo limitado e fechado.

Aula teórica 32 (18Dez) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
O Integral (conclusão).
Critério geral de integrabilidade (conclusão).
Funções nulas excepto num número finito de pontos.
Propriedades elementares do integral.
Independência do integral relativamente aos valores da função num conjunto finito de pontos.
Funções contínuas por troços (ou seccionalmente contínuas).
O Teorema da Média.

Aula teórica 33 (4Jan) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Séries (início).
Motivação. O significado de convergência, divergência e a soma de uma série.
Exemplos.
As séries geométricas e de Dirichlet.
Propriedades gerais das séries.
Início do estudo dos critérios (testes) de convergência:
1º critério: a divergência das séries de termo geral não infinitésimo.


Aula teórica 34 (6Jan) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Séries (continuação).
Critérios (testes) de convergência para séries de termos não negativos:
Os dois critérios de comparação, o critério da raiz e o critério de d'Alembert.


Aula teórica 35 (8Jan) Guia de estudo. Quadros da aula: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Séries (conclusão).
Critérios (testes) de convergência para séries de termos não negativos (conclusão):
O critério do integral. Aplicação às séries de Dirichlet.
Séries de termos sem sinal fixo: 
Séries absolutamente convergentes e séries simplesmente convergentes.
O critério da convergência absoluta.
O critério de Leibniz para séries alternadas.
Séries de potências.