Planeamento

Aulas Teóricas

1ª aula

Topologia em R^n: interior, exterior e fronteira de um subconjunto de R^n; exemplos.

2ª aula

Sucessões em R^n; convergência de sucessões; Teorema de Bolzano-Weirstrauss; 

3ª Aula

Funções f:R^n -> R^m; gráfico e conjuntos de nível; exemplos. Limites direcionais e limites em R^n.

4ª Aula

Definição de continuidade em R^n; primeiras propriedades. Mais exemplos de cálculo de limites em R^2.

5ª Aula

Derivada parcial de f: R^n->R^m; derivada segundo um vetor; exemplos; exemplo de uma função descontínua com derivadas segundo todos os vetores; definição de derivada em R^n.

6ª Aula

 f diferenciável implica f contínua. Relação entre derivada e derivada segundo um vetor; matriz jacobiana; exemplos; 

7ª Aula

Funções de classe C^1; funções C^1 são diferenciáveis; exemplos.

8ª Aula

Derivação da função composta; exemplos; regra da cadeia. 

9ª Aula

Gradiente de um campo escalar diferenciável; perpendicularidade em relação aos conjuntos de níve.

13ª Aula

Critério de 2ª ordem para classificar pontos de estacionaridade; exemplos.

11ª Aula

Fórmula de Taylor de segunda ordem para uma função f:R^n->R de classe C^2; fórmula do resto de Lagrange; exemplos.

12ª Aula

Pontos de mínimo e de  máximo - locais e globais. Candidatos a pontos de extremo: pontos de estacionaridade.

13ª Aula

Critério de 2ª ordem para classificar pontos de estacionaridade; exemplos.

14ª Aula

Exemplos sobre extremos de funções R^n->R.

15ª Aula

Funções em escada; integral de função em escada; integral superior e integral inferior; função integrável; critério de integralidade.

16ª Aula

Teorema de Fubini; exemplos.

17ª Aula

Função característica de um subconjunto de R^n; volume n-dimensional de um subconjunto de R^n. Integral de uma função num subconjunto de R^n; exemplos.

18ª Aula

Mudança de coordenadas em R^n: motivação, definição e exemplos.

19ª Aula

Teorema de mudança de variáveis em R^n; exemplos: coordenadas polares e coordenadas cilíndricas.

20ª Aula

Coordenadas esféricas; exemplos.

21ª Aula

Exemplos de cálculo de integrais com coordenadas cilíndricas e esféricas: centro de massa de um sólido. Outros exemplos de mudanças de coordenadas.

22ª Aula

Regra de Leibniz: demonstração e exemplos.

23ª Aula

Teorema da Função Inversa: motivação, enunciado e exemplos.

24ª Aula

Exemplos de aplicação do Teorema da Função Inversa.

25ª Aula

Teorema da Função Implícita: motivação, enunciado e exemplos no caso de 2 variáveis.

26ª Aula

Versão geral do Teorema da Função Implícita; exemplos.

27ª Aula

Variedades diferenciáveis: definição, critério para verificar que um conjunto é uma variedade; exemplos.

28ª Aula

Definição de espaço tangente e espaço normal num ponto de uma variedade diferenciável de dimensão m; método de cálculo a partir das equações que definem a variedade.

29ª Aula

Exercícios de revisão para o 1ºteste.

30ª Aula

Cálculo dos espaços normal e tangente a uma variedade a partir das equações que a definem; exemplos.

31ª Aula

Extremos condicionados:  método dos multiplicadores de Lagrange; exemplos.

32ª Aula

Método dos multiplicadores de Lagrange:  exemplos.

33ª Aula

Parametrização para uma variedade-m; exemplos; cálculo do espaço tangente a partir da parametrização.

34ª Aula

Integral de linhas de um campo escalar; exemplos.

35ª Aula

Integral de superfície de um campo escalar; exemplos.

36ª Aula

Integral de linha de um campo vetorial (trabalho); exemplos; Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.

37ª Aula

Campos gradientes (ou conservativos) e potenciais escalares; campos fechados; campos gradientes são fechados; exemplos; exemplo de um campo fechado que não é um gradiente (vórtice).

38ª Aula

Demonstração do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha; curvas fechadas homotópicas; invariância do integral de linha de campos fechados ao longo de curvas fechadas homotópicas; exemplos.

39ª Aula

Campos fechados são gradientes  em domínios simplesmente conexos. Teorema de Green. Exemplos.

40ª Aula

Exemplos de aplicação do teorema de Green.

41ª Aula

Superfícies orientáveis; definição de fluxo; exemplos.

42ª Aula

Domínio regular em R^3; definição de divergência; Teorema da divergência; exemplos.

43ª Aula

Exemplos de aplicação do teorema da divergência.

44ª Aula

Exemplos de aplicação do teorema da divergência e de cálculo de fluxos.

45ª Aula

Definição de rotacional; orientação induzida no bordo; teorema de Stokes.

46ª Aula

Campos rotacionais e potenciais vetores. Exemplos de um campo de divergência nula que não é um rotacional.

47ª Aula

Cálculo de um potencial vetor: exemplos e aplicações.

48ª Aula

Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.

49ª Aula

Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.

50ª Aula

Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.

51ª Aula

Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.

52ª Aula

Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.

53ª Aula

Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.

54ª Aula

Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.

Aulas de Problemas

1ª aula

Esboço de conjuntos em R^n. 

2ª Aula

Exercícios sobre limites, continuidade e topologia.

3ª Aula

Resolução de exercícios sobre diferenciabilidade.

4ª Aula

Resolução de exercícios sobre  derivada da função composta e regra da cadeia.

5ª Aula

Resolução de exercícios da Ficha  5.

6ª Aula

Exercícios sobre integrais triplos e integrais duplos.

7ª Aula

Exercícios sobre integrais triplos e integrais duplos usando mudanças de coordenadas.

8ª Aula

Exercícios sobre: mudança de Variáveis de Integração. Regra de Leibniz.

9ª Aula

Exercício sobre: Função Inversa. Função Implícita.

10ª Aula

Exercícios sobre: Variedades. Espaço Tangente. Espaço Normal.

11ª Aula

Exercícios sobre: Extremos Condicionados. Integrais de Campos Escalares em Variedades.

12ª Aula

Exercícios sobre: Trabalho. Campos Gradientes. Potenciais.

13ª Aula

Exercícios sobre: Teorema de Green. Teorema da Divergência.

14ª Aula

Exercícios sobre: Teorema da Divergência. Teorema de Stokes.