Planeamento
Aulas de Problemas
1ª aula
Esboço de conjuntos em R^n.
2ª Aula
Exercícios sobre limites, continuidade e topologia.
3ª Aula
Resolução de exercícios sobre diferenciabilidade.
4ª Aula
Resolução de exercícios sobre derivada da função composta e regra da cadeia.
5ª Aula
Resolução de exercícios da Ficha 5.
6ª Aula
Exercícios sobre integrais triplos e integrais duplos.
7ª Aula
Exercícios sobre integrais triplos e integrais duplos usando mudanças de coordenadas.
8ª Aula
Exercícios sobre: mudança de Variáveis de Integração. Regra de Leibniz.
9ª Aula
Exercício sobre: Função Inversa. Função Implícita.
10ª Aula
Exercícios sobre: Variedades. Espaço Tangente. Espaço Normal.
11ª Aula
Exercícios sobre: Extremos Condicionados. Integrais de Campos Escalares em Variedades.
12ª Aula
Exercícios sobre: Trabalho. Campos Gradientes. Potenciais.
13ª Aula
Exercícios sobre: Teorema de Green. Teorema da Divergência.
14ª Aula
Exercícios sobre: Teorema da Divergência. Teorema de Stokes.
Aulas Teóricas
1ª aula
Topologia em R^n: interior, exterior e fronteira de um subconjunto de R^n; exemplos.
2ª aula
Sucessões em R^n; convergência de sucessões; Teorema de Bolzano-Weirstrauss;
3ª Aula
Funções f:R^n -> R^m; gráfico e conjuntos de nível; exemplos. Limites direcionais e limites em R^n.
4ª Aula
Definição de continuidade em R^n; primeiras propriedades. Mais exemplos de cálculo de limites em R^2.
5ª Aula
Derivada parcial de f: R^n->R^m; derivada segundo um vetor; exemplos; exemplo de uma função descontínua com derivadas segundo todos os vetores; definição de derivada em R^n.
6ª Aula
f diferenciável implica f contínua. Relação entre derivada e derivada segundo um vetor; matriz jacobiana; exemplos;
7ª Aula
Funções de classe C^1; funções C^1 são diferenciáveis; exemplos.
8ª Aula
Derivação da função composta; exemplos; regra da cadeia.
9ª Aula
Gradiente de um campo escalar diferenciável; perpendicularidade em relação aos conjuntos de níve.
13ª Aula
Critério de 2ª ordem para classificar pontos de estacionaridade; exemplos.
11ª Aula
Fórmula de Taylor de segunda ordem para uma função f:R^n->R de classe C^2; fórmula do resto de Lagrange; exemplos.
12ª Aula
Pontos de mínimo e de máximo - locais e globais. Candidatos a pontos de extremo: pontos de estacionaridade.
13ª Aula
Critério de 2ª ordem para classificar pontos de estacionaridade; exemplos.
14ª Aula
Exemplos sobre extremos de funções R^n->R.
15ª Aula
Funções em escada; integral de função em escada; integral superior e integral inferior; função integrável; critério de integralidade.
16ª Aula
Teorema de Fubini; exemplos.
17ª Aula
Função característica de um subconjunto de R^n; volume n-dimensional de um subconjunto de R^n. Integral de uma função num subconjunto de R^n; exemplos.
18ª Aula
Mudança de coordenadas em R^n: motivação, definição e exemplos.
19ª Aula
Teorema de mudança de variáveis em R^n; exemplos: coordenadas polares e coordenadas cilíndricas.
20ª Aula
Coordenadas esféricas; exemplos.
21ª Aula
Exemplos de cálculo de integrais com coordenadas cilíndricas e esféricas: centro de massa de um sólido. Outros exemplos de mudanças de coordenadas.
22ª Aula
Regra de Leibniz: demonstração e exemplos.
23ª Aula
Teorema da Função Inversa: motivação, enunciado e exemplos.
24ª Aula
Exemplos de aplicação do Teorema da Função Inversa.
25ª Aula
Teorema da Função Implícita: motivação, enunciado e exemplos no caso de 2 variáveis.
26ª Aula
Versão geral do Teorema da Função Implícita; exemplos.
27ª Aula
Variedades diferenciáveis: definição, critério para verificar que um conjunto é uma variedade; exemplos.
28ª Aula
Definição de espaço tangente e espaço normal num ponto de uma variedade diferenciável de dimensão m; método de cálculo a partir das equações que definem a variedade.
29ª Aula
Exercícios de revisão para o 1ºteste.
30ª Aula
Cálculo dos espaços normal e tangente a uma variedade a partir das equações que a definem; exemplos.
31ª Aula
Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange; exemplos.
32ª Aula
Método dos multiplicadores de Lagrange: exemplos.
33ª Aula
Parametrização para uma variedade-m; exemplos; cálculo do espaço tangente a partir da parametrização.
34ª Aula
Integral de linhas de um campo escalar; exemplos.
35ª Aula
Integral de superfície de um campo escalar; exemplos.
36ª Aula
Integral de linha de um campo vetorial (trabalho); exemplos; Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.
37ª Aula
Campos gradientes (ou conservativos) e potenciais escalares; campos fechados; campos gradientes são fechados; exemplos; exemplo de um campo fechado que não é um gradiente (vórtice).
38ª Aula
Demonstração do Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha; curvas fechadas homotópicas; invariância do integral de linha de campos fechados ao longo de curvas fechadas homotópicas; exemplos.
39ª Aula
Campos fechados são gradientes em domínios simplesmente conexos. Teorema de Green. Exemplos.
40ª Aula
Exemplos de aplicação do teorema de Green.
41ª Aula
Superfícies orientáveis; definição de fluxo; exemplos.
42ª Aula
Domínio regular em R^3; definição de divergência; Teorema da divergência; exemplos.
43ª Aula
Exemplos de aplicação do teorema da divergência.
44ª Aula
Exemplos de aplicação do teorema da divergência e de cálculo de fluxos.
45ª Aula
Definição de rotacional; orientação induzida no bordo; teorema de Stokes.
46ª Aula
Campos rotacionais e potenciais vetores. Exemplos de um campo de divergência nula que não é um rotacional.
47ª Aula
Cálculo de um potencial vetor: exemplos e aplicações.
48ª Aula
Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.
49ª Aula
Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.
50ª Aula
Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.
51ª Aula
Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.
52ª Aula
Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.
53ª Aula
Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.
54ª Aula
Revisões sobre cálculo vetorial em R^n.