Planeamento
Aulas Teóricas
1ª aula
Topologia em R^n: interior, exterior e fronteira de um subconjunto de R^n; exemplos.
2ª aula
Sucessões em R^n; convergência de sucessões; Teorema de Bolzano-Weirstrauss; Funções f: R^n->R^m; gráfico e conjunto de nível.
3ª Aula
Limites direcionais e limites em R^n; definição e primeiras propriedades de continuidade.
4ª Aula
Exemplos de cálculo de limites em R^2.
5ª Aula
Derivada parcial de f: R^n->R^m; derivada segundo um vetor; exemplos; exemplo de uma função descontínua com derivadas segundo todos os vetores; definição de derivada em R^n; f diferenciável implica f contínua; relação entre derivada e derivada segundo um vetor.
6ª Aula
Relação entre derivada e derivada segundo um vetor; matriz jacobiana; funções de classe C^1; funções C^1 são diferenciáveis; exemplos.
7ª Aula
Exemplos de aplicação da regra da cadeia; definição de caminho em R^n e vectores tangentes a um subconjunto de R^n; exemplos.
8ª Aula
Derivação da função composta; exemplos; regra da cadeia.
9ª Aula
Gradiente de um campo escalar diferenciável; perpendicularidade em relação aos conjuntos de nível; direção de maior crescimento da função.
10ª Aula
Derivadas parciais de ordem 2; função de classe C^2; lema de Schwarz, exemplos.
11ª Aula
Fórmula de Taylor de segunda ordem para uma função f:R^n->R de classe C^2; fórmula do resto de Lagrange; exemplos.
12ª Aula
Pontos de mínimo e de máximo - locais e globais. Candidatos a pontos de extremo: pontos de estacionaridade.
13ª Aula
Critério de 2ª ordem para classificar pontos de estacionaridade; exemplos.
14ª Aula
Exemplos de estudo e classificação de pontos de estacionaridade de funções R^n->R.
15ª Aula
Intervalos em R^n; função em escada; integral superior e integral inferior de uma função limitada. Função integrável e integral.
16ª Aula
Critério de integrabilidade; linearidade do integral; integrais iterados e Teorema de Fubini.
17ª Aula
Função característica de um conjunto; conjuntos mensuráveis; integrais em conjuntos mensuráveis.
18ª Aula
Exemplos de cálculo de integrais em R^n.
19ª Aula
Mudança de coordenadas em R^n: motivação, definição e exemplos.
20ª Aula
Teorema de mudança de variáveis em R^n; exemplos: coordenadas polares e coordenadas cilíndricas.
21ª Aula
Coordenadas esféricas; exemplos.
22ª Aula
Exemplos de cálculo de integrais com coordenadas cilíndricas e esféricas: centro de massa de um sólido.
23ª Aula
Exemplo de cálculo de integrais usando coordenadas cilíndricas: momento de inércia. Regra de Leibniz: demonstração e exemplos.
24ª Aula
Teorema da Função Inversa: motivação, enunciado e exemplos.
25ª Aula
Exemplos de aplicação do Teorema da Função Inversa.
Aula Cancelada
Aula cancelada por doença do docente.
26ª Aula
Teorema da Função Implícita: motivação, enunciado e exemplos.
27ª Aula
Versão geral do Teorema da Função Implícita; exemplos.
28ª Aula
Variedades diferenciáveis: definição, critério para verificar que um conjunto é uma variedade; exemplos.
29ª Aula
Definição de espaço tangente e espaço normal num ponto de uma variedade diferenciável de dimensão m; método de cálculo a partir das equações que definem a variedade.
30ª Aula
Revisões para o 1º teste.
31ª Aula
Método dos multiplicadores de Lagrange: enunciado, demonstração e exemplo.
32ª Aula
Exemplos de aplicação do Método dos Multiplicadores de Lagrange.
33ª Aula
Parametrização de uma variedade: definição e exemplos.
34ª Aula
Integrais de campos escalares em variedades: definição e exemplos.
35ª Aula
Integrais de campos escalares em variedades-2 (superfícies): definição e exemplos.
36ª Aula
Integrais de linha campos vetoriais: definição, independência da parametrização e exemplos. Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha: demonstração e exemplos.
36ª Aula
Integrais de linha de campos vetoriais/trabalho de uma força; Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha; campos gradientes/conservativos; exemplos.
37ª Aula
Condição necessária para um campo ser gradiente: campos fechados; cálculo de potenciais de um gradiente; exemplos; exemplo de um campo fechado que não é um gradiente: vórtice.
38ª Aula
Domínios simplesmente conexos; exemplos em R^2 e R^3; invariância do integral de linha de campos fechados em curvas fechadas homotópicas; campos fechados são gradientes em domínios simplesmente conexos.
39ª Aula
Domínios regulares em R^2; orientação canónica da fronteira; Teorema de Green. Aplicação: campos fechados têm o mesmo integral de linha ao longo de curvas fechadas homotópicas.
40ª Aula
Exemplos de aplicação do Teorema de Green; exemplos de cálculo de integrais de linha de campos fechado e campos conversativos.
41ª Aula
Superfícies orientáveis e normais unitárias; fluxo de um campo vetorial; exemplos.
42ª Aula
Domínios regulares em R^3; divergência de um campo vetorial; Teorema da divergência.
43ª Aula
Exemplos de aplicação do Teorema da divergência; esboço da demonstração.
44ª Aula
Exemplos de aplicação do Teorema da divergência; campo elétrico gerado por uma carga pontual na origem.
45ª Aula
Rotacional de um campo vetorial F:R^3->R^3; bordo de uma superfície orientável; orientação induzida no bordo Teorema de Stokes; esboço da demonstração.
46ª Aula
Campos rotacionais e potenciais vetores; condição necessária para ser um rotacional; Conjuntos em estrela; cálculo do potencial vetor; aplicação ao cálculo de fluxos usando o Teorema de Stokes.
47ª Aula
Revisões para o 2º teste.
Aulas de Problemas
1ª aula
Esboço de conjuntos em R^n. Interior, exterior, fronteira e fecho de subconjuntos de R^n. Conjuntos abertos, fechados, limitados e compactos.
2ª Aula
Exercícios sobre limites, continuidade, derivadas parciais, derivadas segundo vetores e diferenciabilidade.
3ª Aula
Resolução de exercícios sobre diferenciabilidade, derivada da função composta e regra da cadeia.
4ª Aula
Resolução de exercícios das Fichas 4 e 5.
5ª Aula
Exercícios sobre integrais múltiplos.
6ª Aula
Exercícios sobre integrais triplos e integrais duplos usando coordenadas polares (fichas 6 e 7).
7ª Aula
Exercícios sobre integrais triplos usando mudanças de coordenadas (ficha 7).
8ª Aula
Exercícios sobre os Teoremas da Função Implícita e da Função Inversa; exercícios de revisão para o 1º teste.
9ª Aula
Exercícios sobre o teorema da função implícita e sobre variedades, espaço tangente e espaço normal.
10ª Aula
Exercícios sobre extremos condicionados. Integrais de Campos Escalares em Variedades.
13ª Aula
Exercícios sobre os Teoremas da divergência e de Stokes.