Calcule \[\int_0^{\pi/4} \frac{\cos(x)}{\sin(x)+\cos(x)}\, dx\]

Sugestão: considere a mudança de variável \(\tan(x)=u\).

Mostre que, para qualquer \(x > 0\), \[ \int_1^x \frac{1} {1 + t^2}\, dt = \int_{\frac{1}{x}}^1 \frac{1} {1 + t^2}\, dt. \]

Considere a função \(F : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(F(x) = \int_0^x e^{−t^2}\, dt\). Mostre que \[\int_0^1 F(x)\,dx = F(1) − \frac{1}{2} + \frac{1}{2e}.\] Sugestão: use integração por partes.

Calcule \[\int_0^{\pi/4} \frac{\cos(x)}{\sin(x)+\cos(x)}\, dx\]

Sugestão: considere a mudança de variável \(\tan(x)=u\).

Mostre que, para qualquer \(x > 0\), \[ \int_1^x \frac{1} {1 + t^2}\, dt = \int_{\frac{1}{x}}^1 \frac{1} {1 + t^2}\, dt. \]

Considere a função \(F : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(F(x) = \int_0^x e^{−t^2}\, dt\). Mostre que \[\int_0^1 F(x)\,dx = F(1) − \frac{1}{2} + \frac{1}{2e}.\] Sugestão: use integração por partes.

Calcule \[\int_0^{\pi/4} \frac{\cos(x)}{\sin(x)+\cos(x)}\, dx\]

Sugestão: considere a mudança de variável \(\tan(x)=u\).

Mostre que, para qualquer \(x > 0\), \[ \int_1^x \frac{1} {1 + t^2}\, dt = \int_{\frac{1}{x}}^1 \frac{1} {1 + t^2}\, dt. \]

Considere a função \(F : \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) definida por \(F(x) = \int_0^x e^{−t^2}\, dt\). Mostre que \[\int_0^1 F(x)\,dx = F(1) − \frac{1}{2} + \frac{1}{2e}.\] Sugestão: use integração por partes.