54ª Aula - Revisão de definição e exemplos de conjuntos simplesmente conexos em ℝ2 e ℝ3 e da suficiência de conjunto simplesmente conexo para um campo fechado C1 ser equivalente a ser gradiante. Definição de laplaciano e relações entre os operadores diferenciais gradiante, rotacional, divergência e laplaciano. Regras de derivação com estes operadores diferenciais. Definição de campo solenoidal. Campos C1 em subconjuntos em estrela de ℝ3 são solenoidais se e só se são rotacionais de algum campo vectorial. Definição de potencial vectorial e indicação de como os calcular. Referência ao T. de Helmoltz.

1 Junho 2017, 13:00 Luis Magalhães

 Revisão: 
(1) Definição de conjunto simplesmente conexo e exemplos geométricos em ℝ2 e ℝ3. Se S⊂ℝn é aberto e f:S→ℝn é C1, uma condição suficiente para ser (f fechado em S ⇔ f gradiante em S) é que S seja simplesmente conexo. Se n=3, f é fechado em S ⇔ f é irrotacional (i.e. rot f=0) em S .  Em ℝ2 a condição é necessária e suficiente; obter condições necessárias e suficientes em ℝn com n>2 requer mais conhecimento de topologia algébrica.
(2) Operadores diferenciais do Terema Fundamental do Cálculo em ℝn, ℝ3, ℝn, para integrais, resp. de linha, de superfície, múltiplos, resp., grad, rot, div . Relações entre estes operadores para campos C2 rot grad φ=0 e div rot f=0 , e nem variedades-m compactas M com campos C1 ∫M∇φ·dg=0 ,  ∫rot n=0 , em que g é caminho regular simples fechado que descreve curva M e n normal unitária a M contínua.

Outras relações entre os operadores diferenciais referidos:
(1) Em ℝn: div grad φ = lap φ em que  lap φ = ∂2φ/∂x12+ ··· + ∂2φ/∂xné chamado laplaciano de φ e também se designa  ∇2φ ou Δφ .
(2) Em ℝn: rot rot f = grad div f - lap f , com lap f = (lap f1, lap f2, lap f3) (esta fórmula relaciona os 4 operadores diferenciais considerados).

Regras de derivação:
(1) grad, rot e e div são transformações lineares em espaços de campos com derivadas parciais, pelo que aplicados a uma combinação linear de campos dão a combinação com os mesmos coeficientes da sua aplicação a cada campo.
(2) para produtos de campos escalares por campos escalares ou vectoriais: grad(φψ) = ψ grad φ + φ grad ψ , rot(φg) = (grad φ)x+ φ rot , div(φg) = (grad φ)·+ φ div g .
(3) para produtos internos ou externos de campos vectoriais: em ℝn, grad(f·g) = (g·grad)+ (f·grad)fxrot ggxrot f ; em ℝ3, rot(fxg) = (divg)f - (divf)g + (g·grad)- (f·grad)g e div(fxg) = (rot f)·g - g·(rot f) , em que  (g·grad)f=g1∂f1/∂x1+ ··· +gn∂fn/∂xn.

Definição: Se div f=0 diz-se que f é solenoidal.

Pode-se provar analogamente a que para campos C1 em conjuntos abertos em estrela S⊂ℝ(f é fechado em S ⇔ f é gradiante em S) o que para n=3 é (f é irrotacional em S ⇔ f é gradiante em S) que (f é solenoidal em S ⇔ f é rotacional em S) e se f=rot A=rot B , então B=A+grad φ para algum campo escalar φ C1. (Dem.: (⇐) já provado. (⇒) Analogamente ao caso referido, considera-se o centro do conjunto em estrela e define-se A por integração sobre segmentos de recta substituindo o produto interno por externo A(x)=∫[0,1]f(tx)xdt , aplica-se a regra de Leibniz e a 2ª fórmula em (3) para obter rot A(x)=∫[0,1](∂/∂t)[t2f(tx)]dt=f(x) . Se rot A=rot B , A-B é irrotacional e, portanto, é gradiante).

Definição: Se f=rot A num conjunto aberto S⊂ℝ3 diz-se que A é um potencial vectorial de f

Observação: 
(1) Pode-se calcular um potencial vectorial A de um campo vectorial f C1 num subconjunto aberto em estrela de ℝ3, considerando uma das compontes de A nula, por primitivação de duas das equações para as componentes rot A=f e garantindo depois que as constantes de primitivação em função das variáveis consideradas fixas nas derivadas parciais primitivadas são tais que a equação da restante componente é satisfeita.
(2) O resultado precedente é que campos f C1 solenoidais em subconjuntos de abertos em estrela S⊂ℝtêm potencial vectorial. Se f não é solenoidal e S é tal que a equação de Poisson lap φ=div f tem solução (para o que é suficiente (mas não necessário) que S seja limitado e a fronteira de S seja C2), então f tem potencial vectorial e escalar no sentido de ser f=rot A+grad φ, pois  como div(f-grad φ)=0 , f-grad φ é solenoidal e tem potencial vectorial A (Teorema de Helmoltz).

Início da prova de equivalência das 3 descrições locais de variedades-m, por (1) parametrizações (ou sistemas de coordenadas), (2) gráficos e (3) equações cartesianas: (1)⇐(2)⇒(3) . Resta provar (1)⇒(2)⇐(3) , o que se faz com os teoremas da FInversa e da FImplícita.