54ª Aula - Revisão dos aspectos principais da aula anterior. Potenciais escalares e potenciais vectoriais. Referência a extensão do Teorema Fundamental do Cálculo para o o caso de envolver variedades diferenciais com cantos e para o caso geral de variedades-m em ℝn (Teorema de Stokes com formas diferenciais).

27 maio 2016, 11:30 • Luis Magalhães

Revisão:
(1) Definição: Caminhos homotópicos em S⊂ℝⁿ e homotopia em S .
(2) Se  f:S→ℝⁿ C¹ é fechado em S⊂ℝⁿ, integrais de linha são invariantes sobre caminhos homotópicos em S . (a prova directa com base no TGreen usou homotópia C², mas como um função contínua num conjunto compacto pode ser arbitrariamente uniformemente aproximada por uma função C^k (k∈ℕ) obtém-se o resultado para qualquer homotopia em S).
(3) Se f tem todas derivadas parciais de 1ª ordem em S⊂ℝ³, então f é fechado em S ⇔ rot f=0 (diz-se que f é irrotacional).
(4) Se div f =0 diz-se que f é solenoidal.
(5) Definição: S⊂ℝⁿ é simplesmente conexo se todo caminho fechado em S é homotópico a um caminho constante em S (como caminhos constante representam parametricamente pontos, corresponde a toda a curva fechada poder ser continuamente deformada para um ponto sem deixar S).
(6) Se S⊂ℝⁿ e f:S→ℝⁿ é C¹, para se ter a equivalência f é fechado em S ⇔ f é gradiante em S é suficiente que S seja simplesmente conexo (é mais geral do que conjunto em estrela, resulta da invariança do integral de linha de campos fechados sobre caminhos homotópicos, do integral de qualquer campo sobre um caminho constante ser 0 e de a anulação de todos os integrais de linha sobre caminhos seccionalmente regulares de um campo vectorial C¹ f num conjunto conexo S ser condição necessária e suficiente para f ser gradiante em S estabelecida como consequência do TFC para integrais de linha).

Ilustração geométrica: Caminhos simplesmente conexos e não simplesmente conexos em ℝ² e ℝ³.

Observação: O TDivergência também é válido para domínios regulares com cantos, ou seja D⊂ℝⁿ aberto com ∂D=∂D e ∂D uma variedade-(n-1) com cantos em ℝⁿ (que estende a ideia de caminho seccionalmente regular (para m=1)), ou seja uma variedade-m com cantos em ℝⁿ é um conjunto M⊂ℝⁿ que é união finita M=M₁∪···∪M_N de variedades-m em ℝⁿ com bordos que são uniões finitas de variedades- (m-1) em ℝⁿ com bordos que satisfazem a correspondente propriedade sucessivamente até chegar a variedades-1. (a prova baseia-se na aproximação uniforme de um domínio regular com cantos em ℝⁿ D por uma sucessão de domínios regulares e na obtenção do TDivergência para o domínio regular com cantos por passagem ao limite, observando que os bordos das variedades-(n-1) em que se decompõe ∂D têm medida-(n-1) nula).

Definição: Se  f=rot A em S⊂ℝ³ diz-se que A é um potencial vectorial de f (por analogia a dizer-se que φ é um potencial (escalar) de f se f=grad φ).

Revisão: Se φ e ψ são potenciais escalares do mesmo campo vectorial C¹ em S⊂ℝⁿ aberto, então diferem de uma constante em cada componente conexa de S .

Proposição: Para um campo C¹ num aberto S⊂ℝ³ ser um rotacional é necessário que seja solenoidal. A condição também é suficiente se S é um conjunto em estrela (tal como para o gradiante é possível dar condições mais fracas). Se A e B são potenciais vectoriais do mesmo campo vectorial C¹ em S⊂ℝ³ aberto simplesmente conexo, então diferem de um gradiante.

Observações: 
(1) Obtiveram-se teoremas fundamentais do cálculo para variedades-m em ℝⁿ nos casos m=1 e n∈ℕ (p/ integrais de linha), m=n (p/ integrais múltiplos ou Teorema da Divergência), m=2 e n=3 (Teorema de Stokes em variedades-2 em ℝ³). Em geral, para 1≤m≤n , n∈ℕ , também há um Teorema Fundamental do Cálculo, mas tem de se considerar funções que não são campos vectoriais em ℝⁿ. Como as relações de expansão/contracção de volume-m por parametrizações g de variedades-m em ℝⁿ correspondem às várias formas de seleccionar m linhas da matriz jacobiana Dg , que é nxm , sem repetições e independentemente da ordenação é combinações de n , m a m , ou seja k=n!/(m!(n-m)!) , as funções a considerar para integração em variedades-m em ℝⁿ devem ter k componentes escalares. 
Para m=1 é k=n e, portanto são campos vectoriais em ℝⁿ que é o caso de integrais de linha; para m=n é k=1 e, portanto, são campos escalares que é o caso de integrais múltiplos; para m=2 e n=3 é k=3 e, portanto, são campos vectoriais em ℝ³ que é o caso de integrais em variedades-2 em ℝ³; para m=n-1 e n∈ℕ é k=n e, portanto, são campos vectoriais em ℝⁿ que é o caso de fluxos de campos vectoriais em fronteiras de domínios regulares em ℝⁿ. Contudo, por exemplo, para m=2 e n=4 é k=6 , e para m=2 e n=5 ou m=3 e n=5 é k=10 , e, portanto, integrais em variedades-2 em ℝ⁴ devem ser de funções com 6 componentes escalares, integrais em variedades-2 em ℝ⁵ ou em variedades-3 em ℝ⁵ devem ser de funções com 10 componentes escalares, e assim sucessivamente. Estas funções a integrar em variedades-m em ℝⁿ, para 1≤m≤n , n∈ℕ , com n!/(m!(n-m)!) componentes chamam-se formas diferenciais de ordem m ou formas-m .
A fórmula do TFC ou T de Stokes em variedades-m  em ℝⁿ é simplesmente  ∫_Aodω = ∫_∂Aoω , válida se A é um domínio regular numa variedade-m em ℝⁿ orientável, o em A_o é uma orientação desta variedade e em ∂A_o é uma orientação da variedade-(m-1) ∂A consistente com a anterior, ω é uma forma-(m-1) C¹ no fecho de A e dω  é uma forma-m a que se chama derivada exterior de ω , cuja fórmula se pode obter analogamente a como se obtiveram a divergência e o rotacional por aplicação do T da Divergência no domínio de uma parametrização da variedade-m e considerando o operador diferencial que resulta após aplicação da parametrização no integral na variedade-m .
(2) O T de Stokes com formas diferenciais unifica os TFC considerados anteriormente. Em particular, no caso de formas-(n-1) em ℝⁿ a derivada exterior corresponde à divergência do campo vectorial associado, no caso de formas-0 em ℝⁿ corresponde ao gradiante  e no caso de formas-1 em ℝ³ corresponde ao rotacional.
(3) Analogamente ao referido para os casos tratados, por aproximações de funções contínuas por funções C¹ ou C² obtém-se a versão geral do T. de Stokes para as correspondentes  variedades com cantos.
(4) A derivada exterior de uma forma-m é um operador diferencial intrínseco, por razão análoga da divergência e do rotacional.
(5) Define-se forma ω fechada se dω=0 , que para formas-(n-1) corresponde a campos vectoriais solenoidais e para formas-1 em ℝ³ corresponde a campos vectoriais irrotacionais. Define-se forma ω exacta se ω=dγ , generalizando tanto campos que são um gradiante como campos que são um rotacional. Pode-se provar de modo análogo a como se fez para campos irrotacionais ou solenoidais num conjunto em estrela que num conjunto em estrela uma forma fechada é exacta.