51ª Aula - Teorema Fundamental do Cálculo (Teorema de Stokes) em variedades-2 orientáveis em R3. Definição e descrição geométrica de rotacional de campo vectorial.

26 maio 2015, 11:30 • Luis Magalhães

Motivação: Teorema Fundamental do Cálculo em domínios regulares de variedades-2 em ℝ³. Obtenção do operador diferencial a utilizar no integral num domínio regular A de uma vizinhança de coordenadas de uma variedade-2 em ℝ³ através da parametrização g correspondente e do Teorema de Green em ℝ², ou seja da projecção do rotacional na normal unitária D₁gxD₂g a A induzida pela parametrização, designadamente obtenção do rotacional de um campo vectorial.

Definições:
(1) Se S⊂ℝⁿ é aberto e f:S→ℝ³, chama-se rotacional de f a rot f =(D₂f₃-D₃f₂ , D₃f₁-D₁f₃ , D₁f₂-D₂f₁) . Também se designa por ∇xf .
(2) Diz-se que uma variedade-2 M em ℝ³ é orientável se existe um campo vectorial contínuo de normais unitárias a M , i.e. n:M→ℝ³ tal que n(x)⊥T_xM , ||n(x)||=1 . Diz-se que n define uma orientação de M .
(3) Chama-se domínio regular A numa variedade-m M em ℝⁿ a um subconjunto de M limitado e aberto relativamente a M tal que ∂A é uma variedade-(m-1) em ℝⁿ e ∂A=∂A , em que, para S⊂M , ∂S é a fronteira de S relativamente a M , ∂S=S\S , a que se chama bordo de S.

Observações:
(1) Se g:V→ℝ³ é uma parametrização de uma vizinhança de coordenadas de uma variedade-2 em ℝ³, então g(V) é orientável e a orientação induzida por g é n(x) = (D₁gxD₂g)/||D₁gxD₂g|| (g^-1(x)) , logo, as variedades-2 são localmente orientáveis.
(2) Há variedades-2 em ℝ³ não orientáveis, como por exemplo uma banda de Möbius.

Proposição: Teorema Fundamental de Cálculo em variedade-2 em ℝ³ (Teorema de Stokes): Se M⊂ℝ³ é uma variedade C² orientável, com orientação n , A⊂M é um domínio regular em M , f é um campo vectorial C¹ em A com valores em ℝ³, β designa caminhos que representam o bordo ∂A , então ∫_Arot f·n = ∮_∂Af·dβ .

Observações:
(1) O lado esquerdo da fórmula do Teorema de Stokes é o fluxo do rotacional do campo vectorial f através do domínio regular A na variedade-2 M em ℝ³ na direcção da normal unitária n e o lado direito é a circulação do campo vectorial f no bordo de A no sentido antihorário quando visto do lado para onde n aponta.
(2) Considerando para um ponto a∈ℝ³ domínios regulares A_ε de variedades-2 M em ℝ³ tais que a∈A_ε com área V₂(A_ε)→0 quando ε→0 , como se f é C¹ então rot f é C⁰, obtém-se que rot f(a)·n(a) é o limite da circulação de f (do trabalho de f se é um campo de forças) em torno de a em curvas regulares simples fechadas contidas em variedades-2 que contêm a e têm plano tangente em a normal a n , quando a linha fechada tende para a .
(3) rot f · n é um operador diferencial intrínseco do campo vectorial f (como grad f · n ou f´, mas não grad f ou Df ).
(4) Descrição geométrica de rot f(a) : é o vector com direcção normal ao plano onde o limite da circulação em curvas de Jordan no plano que passa em a e contém a no interior da porção do plano que delimita por unidade de área limitada  quando a curva tende para a é máxima, com sentido para de onde se vê a circulação no sentido antihorário, e intensidade igual ao valor do limite referido. |rot f(a)·n| dá o valor do limite análogo da circulação em curvas de Jordan no plano normal a n . Em particular, se rot f(a)≠0 , o valor limite da circulação em planos paralelos a rot f(a) que passam em a é 0 .