53ª Aula - Potenciais escalares e potenciais vectoriais. Referência a extensão do Teorema Fundamental do Cálculo para o caso geral de variedades-m em Rn. Pontos e valores críticos e regulares e condição para o complementar dos pontos críticos num conjunto de nível quando não vazio ser variedade diferencial.

29 maio 2015, 11:30 • Luis Magalhães

Definição: Campos vectoriais em  ℝ³ irrotacionais e solenoidais.

Revisão: Para um campo C¹ num aberto S⊂ℝⁿ ser um gradiante é necessário que seja irrotacional. A condição é também suficiente se S é simplesmente conexo. Se φ e ψ são potenciais escalares do mesmo campo vectorial C¹ em S⊂ℝⁿ aberto, então diferem de uma constante em cada componente conexa de S .

Definição: Se f=rot A em S⊂ℝ³ diz-se que A é um potencial vectorial de f .

Proposição: Para um campo C¹ num aberto S⊂ℝ³ ser um rotacional é necessário que seja solenoidal. A condição também é suficiente se S é um conjunto em estrela (tal como para o gradiante é possível dar condições mais fracas). Se A e B são potenciais vectoriais do mesmo campo vectorial C¹ em S⊂ℝ³ aberto simplesmente conexo, então diferem de um gradiante.

Proposição: Teorema de Helmoltz: Se S⊂ℝ³ é uma bola aberta e f:S→ℝ³ é C² , então existem φ e A tais que f = grad φ + rot A .

Observação: A condição de S⊂ℝ³ ser uma bola aberta pode ser enfraquecida para S ser um conjunto em estrela e a fronteira tal que a equação de Poisson lap φ = ρ , em que ρ=div f , tenha solução (e esta condição ainda pode ser mais fraca).

Definição: Se f = grad φ + rot A diz-se que φ e A são um par de potenciais escalar e vectorial de f .

Observações:
(1) Obtiveram-se teoremas fundamentais do cálculo para variedades-m em ℝⁿ nos casos m=1 e n∈ℕ (p/ integrais de linha), m=n (p/ integrais múltiplos ou Teorema da Divergência), m=2 e n=3 (Teorema de Stokes em variedades-2 em ℝ³. Em geral, para 1≤m≤n , n∈ℕ , também é possível dar um Teorema Fundamental do Cálculo, mas tem de se considerar funções que não são campos vectoriais em ℝⁿ. Como as relações de expansão/contracção de volume-m por parametrizações g de variedades-m em ℝⁿ correspondem às várias formas de seleccionar m linhas da matriz jacobiana Dg , que é nxm , sem repetições e independentemente da ordenação é combinações de n , m a m , ou seja k=n!/(m!(n-m)!) , as funções a considerar para integração em variedades-m em ℝⁿ devem ter k componentes.
Para m=1 é k=n e, portanto são campos vectoriais em ℝⁿ que é o caso de integrais de linha; para m=n é k=1 e, portanto, são campos escalares que é o caso de integrais múltiplos; para m=2 e n=3 é k=3 e, portanto, são campos vectoriais em ℝ³ que é o caso de integrais em variedades-2 em ℝ³; para m=n-1 e n∈ℕ é k=n e, portanto, são campos vectoriais em ℝⁿ. Contudo, por exemplo, para m=2 e n=4 é k=6 , e para m=2 e n=5 ou m=3 e n=5 é k=10 , e, portanto, integrais em variedades-2 em ℝ⁴ devem ser de funções com 6 componentes, integrais em variedades-2 em ℝ⁵ ou em variedades-3 em ℝ⁵ devem ser de funções com 10 componentes escalares, e assim sucessivamente. Estas funções a integrar em variedades-m em ℝⁿ, para 1≤m≤n , n∈ℕ , com n!/(m!(n-m)!) componentes chamam-se formas diferenciais de ordem m ou formas-m .
A fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo ou Teorema de Stokes em variedades-m em ℝⁿ é simplesmente  ∫_Aodω = ∫_∂Aoω , válida se A é um domínio regular numa variedade-m em ℝⁿ orientável, o em A_o é uma orientação desta variedade e em ∂A_o é uma orientação da variedade-(m-1) ∂A consistente com a anterior, ω é uma forma-(n-1) C¹ no fecho de A e dω  é uma forma-m a que se chama derivada exterior de ω , cuja fórmula se pode obter analogamente a como se obtiveram a divergência e o rotacional por aplicação do Teorema da Divergência no domínio de uma parametrização da variedade-m e considerando o operador diferencial que resulta após aplicação da parametrização no integral na variedade-m .
(2) O Teorema de Stokes com formas diferenciais unifica os teoremas fundamentais do cálculo considerados anteriormente. Em particular, no caso de formas-(n-1) em ℝⁿ a derivada exterior corresponde à divergência do campo vectorial associado, no caso de formas-0 em ℝⁿ corresponde ao gradiante do campo escalar associado, e no caso de formas-1 em ℝ³ corresponde ao rotacional do campo vectorial associado.
(3) Analogamente ao referido para os casos tratados, por aproximações de funções contínuas por funções C¹ ou C² obtém-se a versão geral do Teorema de Stokes para as correspondentes  variedades com cantos.
(4) A derivada exterior de uma forma-m é um operador diferencial intrínseco, por razão análoga da divergência e do rotacional.
(5) Define-se forma ω fechada se dω=0 , que para formas-(n-1) corresponde a campos vectoriais solenoidais e para formas-1 em ℝ³ corresponde a campos vectoriais irrotacionais. Define-se forma ω exacta se ω=dγ , generalizando tanto campos que são um gradiante como campos que são um rotacional. Pode-se provar de modo análogo a como se fez para campos irrotacionais ou solenoidais num conjunto em estrela que num conjunto em estrela uma forma fechada é exacta.

Definição: Se S⊂ℝⁿ é aberto e  f:S→ℝ^p é C¹  chama-se ponto regular de f a x∈S tal que f´(x):ℝⁿ→ℝ^p é sobrejectiva (i.e. rank Df(x)=p no caso de p≤n ). Chama-se ponto crítico de f a x∈S que não é ponto regular. Chama-se valor crítico de f a y∈ℝ^p tal que a preimagem f^-1({y}) contém pelo menos um ponto crítico. Chama-se valor regular de f a y∈ℝ^p que não é valor crítico de f .

Observação: Se n<p todos os pontos são críticos.

Proposição: Se S⊂ℝⁿ é aberto e  f:S→ℝ^p é C^k, com k≥1 e p<n , então cada conjunto de nível de f menos o conjunto dos pontos críticos se for ≠∅ é uma variedade-(n-p) C^k em ℝⁿ. Em particular, se c é um valor regular de f , f^-1({c}) se ≠∅ é variedade-(n-p) C^k em ℝⁿ.