Planeamento

Aulas Teóricas

1ª Aula Teórica

Breve apresentação do programa, blibliografia e método de avaliação.

2ª Aula Teórica

Topologia de R^n: revisão das noções de produto interno e norma em R^n; definição de bola

aberta, interior, exterior, fronteira e fecho  de um subconjunto de R^n. Subconjuntos fechados

e subconjuntos abertos; exemplos.

3ª Aula Teórica

Sucessões em R^n; convergência de sucessões; Teorema de Bolzano Wierstrass. Gráfico de uma função f: Rn -> Rm.

 

4ª Aula Teórica

Funções de R^n em R^m; gráfico e conjuntos de nível.

 

5ª Aula Teórica

Definição de limite de uma função num ponto; limites direcionais; Definição de continuidade e propriedades básicas de funções contínuas.

6ª Aula Teórica

Exemplos sobre limites e continuidade de funções f:R^n->R^m.

 

7ª Aula Teórica

Definição de derivadas parciais e derivada segundo um vetor; definição de função diferenciável; relação entre diferenciabilidade e continuidade. Relação entre derivada e derivada segundo um vetor.

 

8ª Aula Teórica

Relação entre deferenciabilidade e continuidade; funções de classe C^1; exemplos.

 

9ª Aula Teórica

Exemplos sobre o estudo de diferenciabilidade das funções em R^n e Teorema de derivação da função composta.

 

10ª Aula Teórica

Regra  da cadeia; soma produto e quociente de funções diferenciáveis; exemplos.

 

11ª Aula Teórica

Vetor tangente a um subconjunto de R^n; Propriedades do gradiente de um campo escalar: perpendicular aos conjuntos de nível.

12ª Aula Teórica

Propriedades do gradiente: dá a direção de crescimento máximo do campo. Exemplos.

Definição de derivadas parciais de ordem superior à primeira. Definição de função de classe C^2. Lema de Schwarz. Exemplos.

 

13ª Aula Teórica

Fórmula de Taylor de ordem 2 para campos escalares em R^n; exemplos.

 

14ª Aula Teórica

Definição de ponto de extremo local para campos escalares em R^n; ponto de estacionariade e ponto de sela. Exemplos.

 

15ª Aula Teórica

Classificação de pontos de estacionaridade usando a fórmula de Taylor de ordem 2. 

16ª Aula Teórica

Exemplos de estudo de extremos de campos escalares em R^n.

 

17ª Aula Teórica

Introdução à integração em R^n: motivação, integral de funções em escada e definição de integral.

 

18ª Aula Teórica

Critério de integrabilidade; linearidade do integral; Teorema de Fubini; exemplos.

19ª Aula Teórica

Integrais múltiplos: definição de conjunto mensurável e integrais em conjuntos mensuráveis. Exemplos.

20ª Aula Teórica

Aplicação do teorema de Fubini ao cálculo de integrais múltiplos: exemplos.

21ª Aula Teórica

Aplicação do teorema de Fubini ao cálculo de integrais múltiplos: exemplos.

 

22ª Aula Teórica

Transformações de coordenadas: definição e exemplos - coordenadas polares em R^2 e cilíndricas em R^3.

 

23ª Aula Teórica

Teorema de Mudança de Variáveis: variáveis esféricas; exemplos.

 

24ª Aula Teórica

Exemplos de cálculo de integrais múltiplos usando transformações de coordenadas; centro de coordenada de um sólido em R3

25ª Aula Teórica

Regra de Leibinz; exemplos.

26ª Aula Teórica

Teorema da Função Inversa; exemplos.

27ª Aula Teórica

Exemplos de cálculo de integrais múltiplos usando transformações de coordenadas.

28ª Aula Teórica

Teorema da Função Implícita; exemplos.

29ª Aula Teórica

Revisões para o teste.

30ª Aula Teórica

Revisões para o teste.

31ª Aula Teórica

Revisões para o teste.

32ª Aula Teórica

Variedades diferenciáveis: definição e exemplos. Critério para o conjunto de soluções de um sistema de equações definir uma variedade.

33ª Aula Teórica

Espaço tangente e  espaço normal de uma variedade-m; exemplos.

34ª Aula Teórica

Método dos Multiplicadores de Lagrange; exemplos.

35ª Aula Teórica

Método dos Multiplicadores de Lagrange (cont.); Teorema de Weirstrass; exemplos.

36ª Aula Teórica

Parametrizações de variedades; exemplos.

37ª Aula Teórica

Integrais de linha de campos escalares: comprimento de uma linha, massa de um fio, momento de inércia de um fio; exemplos.

38ª Aula Teórica

Integrais de superfície de campos escalares: área de uma superfície, etc; exemplos.

39ª Aula Teórica

Integral de linha de um campo vetorial: motivação, definição e relação com o trabalho de uma força; exemplos. Teorema Fundamental do Cálculo para integrais de linha de campos vetoriais; campos gradientes (forças conservativas); exemplos.

40ª Aula Teórica

Cálculo de potenciais para campos gradientes. Condição necessária para ser gradiente (campo conservativo): campos fechados; exemplo de um campo fechado que não é um gradiente: vórtice.

41ª Aula Teórica

Caracterização dos gradientes como campos com integral nulo ao longo de curvas fechadas; exemplos. Invariância dos integrais de campos fechados ao longo de curvas homotópicas; exemplos.

42ª Aula Teórica

Domínios simplesmente conexos; exemplos. Campos fechados em domínios simplesmente conexos são gradientes; exemplos.

43ª Aula Teórica

Teorema de Green: exemplos e demonstração; aplicação ao caso de um campo fechado para provar a invariância para curvas fechadas que são homotópicas no domínio do campo. 

44ª Aula Teórica

Exemplos de aplicação do Teorema de Green.

45ª Aula Teórica

Definição de fluxo de um campo vetorial através de uma superfície, no sentido de uma normal unitária dada; exemplos.

46ª Aula Teórica

Dormínio regular em R3. Divergência de um campo vetorial de classe C1.

Teorema da divergência em R3; exemplos.

47ª Aula Teórica

Exemplos de aplicação do Teorema da Divergência.

48ª Aula Teórica

Demonstração do Teorema da Divergência.

49ª Aula Teórica

Teorema de Stokes; exemplos.

50ª Aula Teórica

Campos rotacionais; definição e exemplos. Potencial vetor. 

51ª Aula Teórica

Cálculo de um campo rotacional: 1. pela definnição; pelo Teorema da Divergência; pelo Teorema de Stokes.  

52ª Aula Teórica

Exemplos de aplicação do Teorema de Stokes.

53ª Aula Teórica

Revisões sobre variedades; extremos condicionados; integrais de linha de campos vetoriais e campos gradientes.

54ª Aula Teórica

Revisões sobre variedades; extremos condicionados; integrais de linha de campos vetoriais e campos gradientes (cont.).

55ª Aula Teórica

Revisões sobre fluxos de campos vetoriais; Teorema da Divergência e Teorema de Stokes.

Aulas de Problemas

1ª Aula

Exercícios da 1ª Ficha: Esboço de conjuntos em R^n.

2ª Aula

Exercícios da 2ª Ficha: Interior, exterior e fronteira de conjuntos em R^n; conjuntos limitados e conjuntos compactos de R^n; cálculo de limites e estudo da continuidade de funções.

3ª Aula

Exercícios da 3ª Ficha: derivadas parciais; derivadas segundo um vector; diferenciabilidade.

4ª Aula

Resolução de exercícios da 4ª Ficha: Teorema da derivação da função composta; regra da cadeia.

5ª Aula

Resolução de exercícios da 5ª ficha: Regra da cadeia no cálculo de segundas derivadas. Classificação de extremos de campos escalares.

6ª Aula

Resolução de exercícios da 6ª ficha: Integrais múltiplos.

7ª Aula

Resolução de exercícios da 7ª ficha: Cálculo de integrais múltiplos usando mudanças de coordenadas.

8ª Aula

Resolução de exercícios das fichas 6 e 7.

9ª Aula

Resolução de problemas  da ficha 8.

10ª Aula

Resolução de problemas da ficha 9.

11ª Aula

Resolução de problemas da ficha 10.

12ª Aula

Resolução de problemas da Ficha 11.

14ª Aula

Resolução de problemas da ficha 13.