Regras de derivação

4 março 2013, 08:00 • Ana Moura Santos

Derivada duma função de várias variáveis com valores em \(R^m\) e transformações lineares.

Derivada duma função constante é a matriz nula. Derivada duma função linear é igual em todos os pontos à matriz que representa a função/transformação linear. Derivada da soma é a soma das derivadas/jacobianas. Derivada do produto e do cociente.

Polinómios e funções racionais fora dos zeros do denominador são sempre diferenciáveis.

Regra da derivada da função composta \({\bf g}\circ {\bf f}\) em \({\bf a}\) traduzida para o produto das jacobianas \([D({\bf g}\circ {\bf f})({\bf a})]= [D{\bf g}({\bf f}({\bf a}))][D{\bf f}({\bf a})]\) (regra da cadeia).


T.P.C.: 1.8.1-1.8.5, 1.8.7-1.8.11.

Derivada duma função de várias variáveis com valores em Rm

1 março 2013, 08:30 • Ana Moura Santos

Definição de função \(\bf f\) diferenciável em \(\bf a\) como aquela que tem limite igual ao vetor nulo para a diferença entre  a variação de \({\bf f}\) na vizinhança de \({\bf a}\) e a função linear \(T({\vec h})\), dividida pela norma de \(\vec h\), quando \(\vec h \rightarrow \vec 0\). A matriz que representa a função linear é a matriz jacobiana \([J{\bf f}({\bf a})]\), que também se escreve \([D{\bf f}({\bf a})]\).

Toda a função diferenciável é uma função contínua (o contrário não é verdade em geral). Exemplo da função \(\frac{x3}{x^2+y^2}\) que é contínua, não é diferenciável, mas tem jacobiana bem definida.

Derivada direcional como limite e derivada direcional dada por \([D{\bf f}({\bf a})]\vec v\) quando \(\bf f\) é diferenciável em \(\bf a\).


T.P.C.: 1.7.10-1.7.14

Semana 3

27 fevereiro 2013, 13:00 • Ricardo Schiappa

Resolução de exercícios seleccionados, de entre os propostos nas aulas teóricas.

Semana 3

27 fevereiro 2013, 11:00 • Ricardo Schiappa

Resolução de exercícios seleccionados, de entre os propostos nas aulas teóricas.

Continuidade. Derivadas parciais

27 fevereiro 2013, 08:00 • Ana Moura Santos

Visualização de gráficos de funções de duas variáveis com o Mathematica.

Provar que uma função dada por ramos é contínua: no ramo em que é racional sem zeros do denominador, ou soma, composição, etc. de polinómios, é argumentar com as propriedades respetivas da continuidade das racionais, soma, composta, etc., dos polinómios. No ramo em que pode haver problema (zero do denominador, p.ex.) é verificar se existe limite e se ele confere com o valor dado para a função nesse ramo, p.ex. verificar se \(\frac{xy^3}{x^4+y^2}\) tem limite igual a zero em \((0,0)\).

Dois teoremas fundamentais que vamos usar: min/max em compactos (teorema de Weierstrass) e do valor médio.

Definição e exemplo de derivadas parciais de funções escalares e de funções com valores em \(R^m\). Matriz jacobiana.

T.P.C.: 1.7.1-1.7.3, 1.7.5- 1.7.9