Espaços vectoriais reais

21 março 2011, 08:30 • Ana Moura Santos

Definição de espaços vectoriais reais. Espaços isomorfos a R ⁿ e espaços de dimensão infinita: espaços de funções p-vezes continuamente diferenciáveis, C ^p (p.ex., p=1 significa todas as derivadas pariciais de 1ª ordem contínuas, p=2 ignifica todas as derivadas pariciais de 2ª ordem contínuas, etc.).

Definições: combinação linear, span (ou expansão linear), conjunto lineramente independente e bases.

T.P.C.: 2.6.1, 2.6.2.

Derivadas direccionais e regras de derivação

18 março 2011, 08:30 • Ana Moura Santos

Demonstração (tipo 1) de que diferenciabilidade implica continuidade.

Definição de derivada direccional. Cálculo da derivada direccional, quando a função é diferenciável. Exemplo. Regras de derivação (ver Teorema 1.8.1): derivada duma função constante, duma função linear, derivada da soma, derivada do produto duma função escalar por uma função vectorial, derivada do cociente duma função vectorial por uma função escalar e derivada do produto interno de duas funções. Regra da derivada da função composta. Exemplo.

Exemplo de função contínua, não diferenciável. Critério de diferenciabilidade:quando f é continuamente diferenciável, i.e. todas as derivadas parciais existem e são contínuas, então f é diferenciável.

T.P.C.: 1.8.1-1.8.5, 1.8.7-1.8.11; 1.9.1-1.9-3.

.

16 março 2011, 12:30 • Nuno Cirilo António

Resolução de exercícios das secção 1.5 e 1.7 (até 1.7.6) do livro "Vector Calculus, Linear Algebra and Differential Forms: a Unified Approach".

.

16 março 2011, 11:00 • Nuno Cirilo António

Resolução de exercícios das secção 1.5 e 1.7 (até 1.7.6) do livro "Vector Calculus, Linear Algebra and Differential Forms: a Unified Approach".

Ainda sobre a diferenciabilidade...

16 março 2011, 08:00 • Ana Moura Santos

Significado geométrico das derivadas parciais.

Demonstração  (tipo 2) que diferenciabilidade implica existência de todas as derivadas parciais.

Demonstração  (tipo 1) da diferenciabilidade duma função vectorial com base na existência do limite zero para a diferença entre o incremento da função e a aproximação linear cuja representação matricial é a derivada.

T.P.C.: 1.7.12, 1.7.13