Planeamento
Aulas Teóricas
Planeamento de cada aula teórica
- Semana 24--30 Maio (fim das aulas no dia 30 de Maio)
29/5
Revisões.
27/5
Revisões.
25/5
A divisão do Exame final em duas metades/partes, como explicado na 1ª aula teórica do semestre. Nomeadamente, a parte I (T1+T2) incidirá sobre a matéria leccionada nos capítulos 1, 2 e 3; enquanto que a parte II (T3) incidirá sobre o resto da matéria, portanto os capítulos 4, 5, 6 e 7 (formas quadrática e raiz quadrada de matrizes). Revisões. - Semana 17--23 Maio
22/5
Algumas aplicações do teorema que noz diz que toda a matriz real simétrica A é ortogonalmente diagonalizável (D=QAQ^T).
Como corolário (ver teorema 6.49), sendo G matriz real nxn, a função <u,v>=[u_B] G [v_B]^T define um produto interno num espaço linear V em que B é uma sua base sse 1) G=G^T (simétrica) e 2) todos os valores próprios de G são nºs positivos (não nulos). Definição de forma quadrática e a respectiva classificação (Teorema 7.1). A raiz quadrada de uma matriz semidefinida positiva (ver Teorema 7.3 e Exemplo 7.4).
(Estudar: item 3 do Cap.6 e 1 e 2 do Cap. 7 do Manual (ver aqui)).
20/5
Matrizes normais, matrizes hermitianas (simétricas), matrizes unitárias (ortogonais) e alguma propriedades (Teoremas 6.39, 6.40 e 6.41). Teorema: toda a matriz real simétrica é diagonalizável (ortogonalmente. Mais toda a matriz norma é diagonalizável unitariamente Exemplo de dada A real simétrica, construção de D diagonal e Q ortogonal tais que D=QAQ^T. Exemplo.
(Estudar: itens 11, 12 e 13 do Cap.6 do Manual (ver aqui)).
18/5
Projecções ortogonais (Teorema 6.31) e distância entre um ponto e um subespaço linear (Definição 6.34). Exemplos. Matrizes normais e matrizes simétricas.
(Estudar: itens 9 e 11 do Cap.6 do Manual (ver aqui)). - Semana 10-16 Maio
15/5
A definição de complemento ortogonal de um subespaço linear (ou conjunto) num espaço euclidiano (Definição 6.28). Propriedades e exemplos, inclui do exemplo de o subespaço linear ser gerado por uma lista de vectores em R^n (no produto interno usual, o seu complemento ortogonal será o núcleo da matriz em que se colocam os vectores em linha, ver Exemplo 6.30).
(Estudar: itens 7, 8 e 9 do Cap.6 do Manual (ver aqui)).
13/5
Normalizar 1 vector não nulo. A noção de 2 vectores serem ortogonais.As noções de base ortogonal e de base ortonormal. O método de ortogonalização de Gram-Schmidt (Teorema 6.23). Tendo-se uma base ortogonal, podemos facilmente encontrar as coordenadas de um qualquer vector nessa base (Teorema 6.19). A definição de complemento ortogonal de um subespaço linear num espaço linear.
(Estudar: itens 5 e 6 do Cap.6 do Manual (ver aqui)).
11/5
Início do capítulo 6. Definição 6.1 (dos apontamentos das aulas teóricas) de produto interno num espaço linear real (ou complexo). Exemplos, onde o "produto escalar" em Rn fornece um exemplo de produto interno. Matriz de Gram G do produto interno relativamente a uma base (a verificação que G é simétrica, se for um produto interno real) , ver Definição 6.6. Definição 6.10 (norma de um vector, projecção ortogonal de um vector sobre outro, vectores ortogonais, ângulo entre vectores). Desigualdade de Cauchy-Schwarz. (uma consequência da desigualdade de Cauchy-Schwarz é que a definição de ângulo entre dois vectores num espaço linear real está bem definida).
(Estudar: itens 1,2, 3 e 4 do Cap.6 do Manual (ver aqui)). - Semana 3--9 Maio
8/5
Continuação da Forma canónica de Jordan. 1º método para Jordanizar uma matriz A (isto é, encontrar uma matriz J na forma canónica de Jordan e S invertível tais que J=S-1AS). Cadeias de Jordan de comprimento k e a construção de S tal que J=S-1AS. Descobrir os blocos de Jordan a partir das dimensões dos espaços próprios generalizados. 2º método para Jordanizar A (determinando as cadeias de Jordan, começando pelos vectores que vivem nos espaços próprios generalizados de maior índice) Exemplos 5.19, 5.27, 5.28, 5.29, 5.30. Conclusão do cap. 5.
(Estudar: item do Cap.5 do Manual (ver aqui)).
6/5
Continuação da Forma canónica de Jordan. Bloco de Jordan de tamanho m, matriz na forma canónica de Jordan J. Espaços próprios generalizados. Teorema de Jordan: toda a matriz A nxn é semelhante a uma matriz J na forma canónica de Jordan (isto é existe uma matriz invertível S e uma matriz J na forma canónica de Jordan J tais que J=S-1AS), cf. Teorema 5.21 dos apontamentos das aulas teóricas. Exemplos 5.19, 5.27, 5.28, 5.29, 5.30.
(Estudar: item do Cap.5 do Manual (ver aqui)).
4/5
Sendo A=M(T;B;B) a representação matricial de uma transformação linear T: V->V numa base B, justificamos que lambda é valor próprio de T sse lambda é valor próprio de A e u é vector próprio de T sse uB for vector próprio de A. Exemplo.
Casos em que a matriz não é diagonalizável: forma Canónica de Jordan (Sec 5.2 dos apontamentos das aulas teóricas).
(Estudar: itens 4 e 5 do Cap.5 do Manual (ver aqui)). - Semana 26 Abril -- 2 Maio
29/4
Provar que a união de conjuntos de vectores próprios linearmente independentes associados a valores próprios diferentes ainda é um conjunto de vectores linearmente independente.
Teorema 5.10 (Sendo os valores próprios da matriz nxn A reais, A diagonalizável sse existe uma base de R^n constituída por vectores próprios de A). Portanto A diagonalizável sse mg(lambda)=ma(lambda) para todo o valor próprio lambda de A. Neste caso, se definirmos P-1=matriz cujas colunas são os vectores próprios da base B de Rn e D = matriz diagonal cuja entrada (i,i) é o valor próprio associado ao vector próprio que está na coluna i de P-1 então temos: D=PAP-1.
Mais, P-1=SBc->B e claro que P=SB->Bc (matrizes mudança de bases!). Exemplos 5.14.
(Estudar: parte final do item 2, item 3 do Cap.5 do Manual (ver aqui)).
27/4
Algumas propriedades dos valores próprios em relação matriz matriz inicial A. Exemplo. Matrizes semelhantes (Definição 5.5 dos apontamentos das aulas teóricas) e algumas propriedades. Portanto A é diagonalizável no sentido da aula anterior sse A for semelhante a uma matriz diagonal. Multiplicidade algébrica ma(lambda) e muiltiplicidade geométrica mq(lambda) do valor próprio lambda -- ver Observação 5.11. Exemplos. Teorema 5.12: mq(lambda) é sempre menor ou gual a mg(lambda) para qualquer valor próprio lambda.
(Estudar: itens 1, 2 e 3 do Cap.5 do Manual (ver aqui)). - Semana 19--25 Abril
24/4
Início do Cap.5: valores e vectores próprios para matrizes, polinómio característico (Definições 5.1 e 5.4 dos apontamentos das aulas teóricas). Espaços próprios. Matrizes semelhantes (Definição 5.5) e algumas propriedades. Definição de matriz diagonalizável e o seu uso. (Definição 5.9).
(Estudar: itens 1, 2 e 3 do Cap.5 do Manual (ver aqui)).
22/4
Conclusão da aula anterior. Valores e vectores próprios para transformações lineares (Definição 4.42 dos apontamentos das aulas teóricas). Exemplos de transformações lineares, incluída a derivação (transformação liner num espaço linear de dim infinita) como exemplo de transformação linear com um nº infinito de valores próprios.
(Estudar: item 8 do Cap.4 e itens 1 e 2 do Cap.5 do Manual (ver aqui)).
20/4
Isomorfismo de espaços lineares. A prova de que qualquer espaço linear real de dimensão n é isomorfo a R^n (Definição 4.23 e Teorema 4.24 dos apontamentos das aulas teóricas). A definição de equação linear para transformações lineares e a sua resolução, nos casos em que as dimensões do espaço de partida de de chegada são finitas (Definição 4.39 e Teoremas 4.40 e 4.41 dos apontamentos das aulas teóricas). Exemplos.
(Estudar: parte final do item 4 e item 7; do Cap.4 do Manual (ver aqui)). - Semana 13-- 18 Abril
17/4
Representação matricial da composição de transformações lineares (ver Teorema 4.17 dos apontamentos das aulas teóricas). Sendo T invertível (bijectiva), calcular a representação matricial da inversa de T em função da representação matricial de T. Como caso particular: se T:V->V for uma transformação linear, A=M(T;B1;B1) e B=M(T;B1;B2) então B=SAS-1 onde S=SB1->B2 é a matriz mudança de base (de B1 para B2) -- cf. teorema 4.18. Exemplo.
(Estudar os itens: 5, 6, fim do item 3 e item 2; do Cap.4 do Manual (ver aqui)).
15/4
Podemos associar uma transformação linear a cada matriz A do tipo m por n. E reciprocamente? A representação matricial de transformações lineares em espaços lineares de dimensão finita (ver Teorema 4.12). Com caso importante, observa-se que se I: V-->V for a transformação linear identidade, I(u)=u, então a representação matricial de I nas bases B1 e B2 é a matriz mudança de base:
M(I;B1;B2)=SB->B2 . Sendo T:V1-->V2 e A=M(T;B1;B2), a prova de que T(u)=v sse A[uB1]=[vB2]. Como consequências, a verificação de que T é injectiva sse dim N(A)=0; T é sobrejectiva sse car(A)=dim (V2) e a forma fácil de determinar bases para N(T) e para I(T) -- Teoremas 4.31, 4.32 e 4.33 dos apontamentos das aulas teóricas.
(Estudar os itens 2, 3 e 4 do Cap.4 do Manual (ver aqui)).
13/4
Início do Cap. 4 (Transformações lineares). Definição de transformação linear (cf. Def. 4.1 dos apontamentos das aulas teóricas). Exemplos de transformações lineares, como por exemplo a composição de transformações lineares. Núcleo e imagem (contradomínio) de transformações lineares (Def. 4.26) .
(Estudar os itens 1 e 2 do Cap.4 do Manual (ver aqui)). - Semana 29 Março--4 Abril
3/4
Bases vs bases ordenadas de espaços lineares. Coordenadas de um vector numa base ordenada (ver Definição 3.52 dos apontamentos das aulas teóricas). Matriz mudança de base e o seu uso (ver Teorema 3.55).
(Estudar os item 12 do Cap.3 do Manual (ver aqui)).
1/4
Teorema de Steinitz (juntar, a conjunto B de vectores LI, vectores de forma a encontrar uma base do espaço linear contendo B). Teorema das dimensões. Exemplos.
(Estudar os itens parte final do 9 e 11 do Cap.3 do Manual (ver aqui)).
30/3
Determinação das dimensões e indicação de bases para cada um dos 3 subespaços lineares -- núcleo, espaço linha e espaço colunas -- associadas a cada matriz A (ver Teoremas 3.38 e 3.44). Exemplos 3.45 e 3.46 dos apontamentos das aulas teóricas. Em particular, prova-se que car(A)=car(A^T) para qualquer matriz A.
Verificação de que a intersecção e soma V1 + V2 de subespaços lineares V1 e V2 de V ainda são subespaços lineares de V (ver Teorema 3.15). Observa-se que a união de subespaços lineares, em geral, não é subespaço linear.
(Estudar os itens 6, 10 do Cap.3 do Manual (ver aqui)). - Semana 22--28 Março
27/3
Propriedades (ver p.ex. o Teorema 3.27) dos vectores linearmente independentes. A definição de base e de dimensão de um espaço linear (ver Definição 3.30 dos apontamentos das aulas teóricas). Notamos que um espaço linear V tem muitas bases, o que é único é o número de vectores de cada base, este número é a dimensão de V.
Exemplos de bases e dimensões de espaços lineares (p.ex., a base canónica de Rn).
(Estudar o item 9 do Cap.3 do Manual (ver aqui)).
25/3
Sendo A uma matriz qualquer, define-se o espaço colunas C(A) e o espaço linhas L(A), como exemplos de expansões lineares, das colunas de A (vistas como vectores) e das linhas de A (vistas como vectores), respectivamente. Por exemplo se V=L(S) é a expansão linear de um conjunto finito de vectores S, então V=C(A), onde as colunas de A são esses vectores de S (ou então V=L(B) onde as linhas da matriz B são esses vectoers de S. Claro que A=BT).
(Estudar os itens 5 e 7 do Cap.3 do Manual (ver aqui)).
Independência e dependência linear de vectores (ver Definição 3.24 na página 33 dos apontamentos das aulas teóricas). Com exemplo importante, verifica-se que as noções de independência (LI) e dependência para k vectores de Rn pode ser verificadas usando o conteúdo do Cap.1, nomeadamente, os k vectores são LI sse car(A)=k onde as colunas de A são formadas pelos k vectores.
(Estudar o item 8 do Cap.3 do Manual (ver aqui)).
23/3
Definição de núcleo N(A) de uma matriz como exemplo importante de subespaço linear. Definição de combinação linear (Definição 3.11,na página 28 dos apontamentos das aulas teóricas). A noção de combinação linear para vectores de Rn. Definição de Expansão linear L(S) de um conjunto de vectores S e algumas propriedades (Teorema 3.25 e 3.12), como por exemplo, se S1 é um subconjunto de S2, então L(S1) é um subespaço linear de L(S2). Todavia, podemos ter L(S1)=L(S2) com S1 diferente de S2. Como exemplo importante, verifica-se que k vectores de Rn geram Rn sse car(A)=n, onde as colunas de A são esses k vectores.
(Estudar os itens 3 e 4 do Cap.3 do Manual (ver aqui)). - Semana 18--21 Março 2020
20/3:
As noções de espaço linear e a de subespaço linear (páginas 24--27 dos apontamentos das aulas teóricas) com ênfase para o Teorema 3.8, onde se caracteriza os subconjunto U de um dado espaço linear V que são subespaços lineares de V . Exemplos.
(Estudar também estudar itens 1 e 2 (nas págs 13--14) do Cap 3 do Manual (ver aqui)).
18/3:
A fórmula de Laplace (Teorema 2.14 na página 22 dos apontamentos das aulas teóricas) como algoritmo para calcular o determinante de uma dada matriz A do tipo nxn de 2n formas diferentes, dando sempre o mesmo resultado (o det(A)): podemos aplicar a formula de Laplace a cada linha de A (em que o det(A) fica igual à soma de n determinantes de matrizes de tamanho (n-1)x(n-1)), mas como detA=det A^T, podemos aplicar a fórmula de Laplace a cada coluna de A.
(Estudar também o item 4 (na página 12) do Cap 2 do Manual (ver aqui)).
A matriz dos cofactores cof(A). Teorema 2.18: A (cof(A))^T=detA).I. Sendo A matriz nxn invertível, este resultado permite calcular cada entrada da matriz inversa de A, como ilustrado no Exemplo 2.19. (Estudar também o item 5 (nas páginas 12 e 13 do Cap 2 do Manual (ver aqui)).
Aulas de Problemas
Planeamento das aulas de Problemas (Práticas)
Semana 24--30 Maio (fim das aulas)
Resolução de problemas do Cap. 6 e Cap. 7.1. Revisões.
Semana 17--23 Maio
Continuação da aula anterior, resolução de exercícios do cap 6 (incidindo no problemas: 6.9, 6.11, 6.14 e 6.25).
Semana 10-16 Maio
Resolução de exercícios do Cap. 5 (ênfase para os problemas 5.17, 5.23) e de exercícios do Cap. 6 (ênfase para os problemas 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 e 6.6).
Semana 3--9 Maio
Resolução de exercícios do Cap. 5 (ênfase para os problemas 5.7, 5.8, 5.12, 5.15, 5.17).
Semana 26 Abril -- 2 Maio
Resolução de exercícios do Cap.4 (ênfase para os problemas 4.15, 4.16, 4.18 e 4.19) e Cap. 5 (ênfase para os problemas 5.1, 5.2, 5.3 e 5.6).
As resoluções dos problemas do Cap.4 já se encontram disponíveis no separador "Material para as aulas".
A resolução dos problemas do Cap.5 estará disponível no separador "Material para as aulas".
Semana 19--25 Abril
Resolução de exercícios do Cap.4 (ênfase para os problemas 4.1, 4.3, 4.4, 4.6, 4.10,
4.13, 4.14) da
lista de problemas (ver aqui). A resolução dos problemas estará disponível no separador "Material para as aulas") .
Semana 13--17 Abril
Resolução dos exercícios do Cap.3 (ênfase para os problemas 3.30,3.31, 3.33, 3.34 e depois 3.6, 3.7, 3.22, 3.26) da
lista de problemas (ver aqui).
(A resolução dos problemas já se encontra disponível no separador "Material para as aulas") .
Semana 29 Março--4 Abril
Resolução dos exercícios do Cap.3 (ênfase para os problemas 3.11, 3.14, 3.15, 3.17, 3.18, 3.20, 3.21, 3.24, 3.27 e 3.28) da
lista de problemas (ver aqui).
(A resolução dos problemas já se encontra disponível no separador "Material para as aulas") .
Semana 22--28 Março:
Resolução dos exercícios do Cap.3 (3.1, 3.3, 3.4, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, 3.10) da
lista de problemas (ver aqui).
(A resolução dos problemas será introduzida no separador "Material para as aulas").
Semana 18--21 Março:
Resolução dos exercícios do Cap.2 da
lista de problemas (ver aqui).
(A resolução dos problemas já se encontra disponível no separador "Material para as aulas") .