Planeamento

Aulas Teóricas

1ª Aula

Apresentação. Generalidades sobre sistemas de equações lineares.

2ª Aula

Resolução de qualquer sistema de equações lineares: Método de Gauss.

3ª Aula

Matrizes: soma de matrizes e produto por um escalar; produto de matrizes e suas propriedades. Representação matricial de um sistema de equações lineares.

4ª Aula

Inversão de matrizes. Matrizes elementares. Descrição matricial do método de eliminação de Gauss. Algoritmo de Gauss Jordan.

5ª Aula

Complementos sobre inversão de matrizes. Definição e exemplos de espaços vectoriais.

6ª Aula

Combinações lineares e conjuntos geradores. Conjuntos geradores de R^n .

7ª Aula

Conjuntos linearmente independentes. Critério de independência linear em R^n .

8ª Aula

Definição de base. Bases de R^n. Bases de espaços vectoriais abstractos. Dimensão. Sistemas de coordenadas.

9ª Aula

Isomorfismos entre espaços vectoriais. Isomorfismo natural entre um espaço de dimensão n munido de uma base e R^n .

10ª Aula

Base canónica de R^n . Matrizes mudança de base.

11ª Aula

Mudanças de bases. Subespaços.

12ª Aula

Subespaços de espaços vectoriais; dimensão. Subespaços de R^2 e R^3.

1º Teste

1º Teste

13ª Aula

Espaço das colunas e espaço das linhas de uma matriz.

14ª Aula

Espaço nulo de uma matriz. Subespaços de Rⁿ descritos como espaços das colunas e espaços nulos de matrizes.

15ª Aula

Intersecção e soma de subespaços.

16ª Aula

Transformações lineares. Representação matricial de transformações lineares.

17ª Aula

Composição de aplicações lineares e multiplicação de matrizes. Representação matricial de aplicações lineares em diferentes bases; mudanças de base.

18ª Aula

Imagem e núcleo de uma transformação linear.

19ª Aula

Equações lineares.

20ª Aula

Áreas de paralelogramos. Determinantes em R² . Volumes de paralelepípedos. Definição de determinante.

21ª Aula

Cálculo de determinantes pelo método de eliminação de Gauss. Determinantes de matrizes triangulares. Determinante do produto de matrizes quadradas. Determinante da matriz inversa. Determinante da matriz transposta.

22ª Aula

Linearidade do determinante em cada uma das linhas. Número de inversões e sinais de permutações. Fórmula permutacional do determinante. Regra de Sarrus.

23ª Aula

Existência do determinante. Teorema de Laplace para o cálculo de determinantes.

24ª Aula

Regra de Cramer para a solução de sistemas. Matriz dos cofactores e cálculo das entradas da matriz inversa.

25ª Aula

Vectores e valores próprios. Polinómio característico. Espaços próprios.

2º Teste

2º Teste

26ª Aula

Bases formadas por vectores próprios. Transformações e matrizes diagonalizáveis.

27ª Aula

Transformações e matrizes diagonalizáveis. Valores e vectores próprios complexos de matrizes reais.

28ª Aula

Existência de vectores próprios. Teorema fundamental da Álgebra. Potências de matrizes diagonalizáveis. Sistemas de equações deferenciais com matriz diagonalizável.

29ª Aula

Produto interno em Rⁿ. Ortogonalidade. Projecção ortogonal numa direcção. Ângulo entre vectores.

30ª Aula

Complemento ortogonal de subespaços de Rⁿ. Projecções ortogonais em subespaços de Rⁿ. Bases ortogonais e ortonormadas de subespaços.

31ª Aula

Projecção num subespaço munido de uma base ortogonal. Ortogonalização de Gram-Schmidt. Distância de um vector a um subespaço.

32ª Aula

Matrizes ortogonais. Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis. Produto interno em Cⁿ. Diagonalização de matrizes simétricas. Formas quadráticas.

33ª Aula

Produto interno e norma em espaços vectoriais; espaços euclidianos reais e complexos. Ortogonalidade. Ângulo entre dois vectores. Complemento ortogonal de um subespaço num espaço euclidiano e projecção ortogonal de um vector sobre um subespaço de dimensão finita. Ortogonalização de uma base (Método de Gram- Schmidt).

34ª Aula

Representação matricial do produto interno. Distâncias em espaços euclidianos.

35ª Aula

Geometria dos k-planos; representação paramétrica e cartesiana; distância entre k-planos.

36ª Aula

Solução de norma mínima em sistemas indeterminados. Soluções de quadrados mínimos em sistemas impossíveis; regressão linear.

37ª Aula

Revisões: resolução e discussão de exercícios sobre distâncias entre k-planos.

38ª Aula

Revisões: resolução e discussão de exercícios sobre sistemas de equações diferenciais (lineares homogéneos).