Planeamento
Aulas Teóricas
1ª Aula
Apresentação. Generalidades sobre sistemas de equações lineares.
2ª Aula
Resolução de qualquer sistema de equações lineares: Método de Gauss.
3ª Aula
Matrizes: soma de matrizes e produto por um escalar; produto de matrizes e suas propriedades. Representação matricial de um sistema de equações lineares.
4ª Aula
Inversão de matrizes. Matrizes elementares. Descrição matricial do método de eliminação de Gauss. Algoritmo de Gauss Jordan.
5ª Aula
Complementos sobre inversão de matrizes. Definição e exemplos de espaços vectoriais.
6ª Aula
Combinações lineares e conjuntos geradores. Conjuntos geradores de R^n .
7ª Aula
Conjuntos linearmente independentes. Critério de independência linear em R^n .
8ª Aula
Definição de base. Bases de R^n. Bases de espaços vectoriais abstractos. Dimensão. Sistemas de coordenadas.
9ª Aula
Isomorfismos entre espaços vectoriais. Isomorfismo natural entre um espaço de dimensão n munido de uma base e R^n .
10ª Aula
Base canónica de R^n . Matrizes mudança de base.
11ª Aula
Mudanças de bases. Subespaços.
12ª Aula
Subespaços de espaços vectoriais; dimensão. Subespaços de R^2 e R^3.
1º Teste
1º Teste
13ª Aula
Espaço das colunas e espaço das linhas de uma matriz.
14ª Aula
Espaço nulo de uma matriz. Subespaços de Rⁿ descritos como espaços das colunas e espaços nulos de matrizes.
15ª Aula
Intersecção e soma de subespaços.
16ª Aula
Transformações lineares. Representação matricial de transformações lineares.
17ª Aula
Composição de aplicações lineares e multiplicação de matrizes. Representação matricial de aplicações lineares em diferentes bases; mudanças de base.
18ª Aula
Imagem e núcleo de uma transformação linear.
19ª Aula
Equações lineares.
20ª Aula
Áreas de paralelogramos. Determinantes em R² . Volumes de paralelepípedos. Definição de determinante.
21ª Aula
Cálculo de determinantes pelo método de eliminação de Gauss. Determinantes de matrizes triangulares. Determinante do produto de matrizes quadradas. Determinante da matriz inversa. Determinante da matriz transposta.
22ª Aula
Linearidade do determinante em cada uma das linhas. Número de inversões e sinais de permutações. Fórmula permutacional do determinante. Regra de Sarrus.
23ª Aula
Existência do determinante. Teorema de Laplace para o cálculo de determinantes.
24ª Aula
Regra de Cramer para a solução de sistemas. Matriz dos cofactores e cálculo das entradas da matriz inversa.
25ª Aula
Vectores e valores próprios. Polinómio característico. Espaços próprios.
2º Teste
2º Teste
26ª Aula
Bases formadas por vectores próprios. Transformações e matrizes diagonalizáveis.
27ª Aula
Transformações e matrizes diagonalizáveis. Valores e vectores próprios complexos de matrizes reais.
28ª Aula
Existência de vectores próprios. Teorema fundamental da Álgebra. Potências de matrizes diagonalizáveis. Sistemas de equações deferenciais com matriz diagonalizável.
29ª Aula
Produto interno em Rⁿ. Ortogonalidade. Projecção ortogonal numa direcção. Ângulo entre vectores.
30ª Aula
Complemento ortogonal de subespaços de Rⁿ. Projecções ortogonais em subespaços de Rⁿ. Bases ortogonais e ortonormadas de subespaços.
31ª Aula
Projecção num subespaço munido de uma base ortogonal. Ortogonalização de Gram-Schmidt. Distância de um vector a um subespaço.
32ª Aula
Matrizes ortogonais. Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis. Produto interno em Cⁿ. Diagonalização de matrizes simétricas. Formas quadráticas.
33ª Aula
Produto interno e norma em espaços vectoriais; espaços euclidianos reais e complexos. Ortogonalidade. Ângulo entre dois vectores. Complemento ortogonal de um subespaço num espaço euclidiano e projecção ortogonal de um vector sobre um subespaço de dimensão finita. Ortogonalização de uma base (Método de Gram- Schmidt).
34ª Aula
Representação matricial do produto interno. Distâncias em espaços euclidianos.
35ª Aula
Geometria dos k-planos; representação paramétrica e cartesiana; distância entre k-planos.
36ª Aula
Solução de norma mínima em sistemas indeterminados. Soluções de quadrados mínimos em sistemas impossíveis; regressão linear.
37ª Aula
Revisões: resolução e discussão de exercícios sobre distâncias entre k-planos.
38ª Aula
Revisões: resolução e discussão de exercícios sobre sistemas de equações diferenciais (lineares homogéneos).