Semana

Tema

Descrição

1

Sistemas lineares.  Matrizes e vetores

Método de eliminação Gauss-Jordan. Conjunto solução de sistemas lineares. Produto matriz -vetor.

2

Independência linear. Equação vetorial e matricial

Vetor combinação linear e expansão linear. Conjuntos linearmente independentes. A equação matricial Ax=b  

3

Introdução às transformações lineares. Cálculo matricial

Transformações matriciais e a matriz da transformação linear. Injetividade e sobrejetividade. Produto, potência e inversa de matrizes. 

4

Matrizes e transformações lineares 

 Teorema das matrizes invertíveis. Exemplos da composição de transformações lineares e aplicações geométricas (CG). 

5

Determinantes

Definição de determinante e regra de Laplace. Propriedades do determinante. Regra de Cramer.Relação com o volume n-dimensional. 

6

Espaços e subespaços vetoriais em Rⁿ

Definição de espaço vetorial.  Exemplos de subespaços vetoriais. Interpretação geométrica.

7

Bases e dimensão. Núcleo e espaço de colunas

Bases. Dimensão de (sub)espaços vetoriais. Espaço nulo ou núcleo e espaço das colunas de uma matriz. Teorema da dimensão. Núcleo e imagem de uma transformação linear.

8

Mudanças de base. Cadeias de Markov 

Vetor de coordenadas.  Mudança de coordenadas entre duas bases. Propriedades das matrizes de Markov.

9

Valores e vetores próprios

Valores e vetores próprios de uma matriz e de uma transformação linear. A equação característica.

Multiplicidade algébrica e geométrica.

10

Diagonalização. Sistemas dinâmicos 

Diagonalização de matrizes. Valores próprios complexos e rotações. Exemplos de sistemas dinâmicos.

11

Ortogonalidade

Produto interno real, norma e distância.  As desigualdades triangular e de Cauchy-Schwarz. Conjuntos ortogonais e ortonormais. Projeção ortogonal e ângulos. (Ortogonalização de Gram-Schmidt.)

12

Diagonalização de matrizes simétricas. Formas quadráticas

Diagonalização ortogonal de matrizes simétricas.  Teorema espetral.  Classificação de formas quadráticas. 

13

 Mínimos quadrados. SVD

O método dos mínimos quadrados. Decomposição em valores singulares.

14

 Vários 

Produto interno complexo. Transformações ortogonais, unitárias, hermiteanas e anti-hermiteanas. 

BIBLIOGRAFIA PRINCIPAL

Lay, D., Lay, S. and McDonald, J.

Linear Algebra and its applications (5^thedition)  Pearson Education (2016)

Hefferon, J.

Linear Algebra (3^rd edition) (2017)

Strang, G.

Introdução à Álgebra Linear (4ª edição), GEN-LTC (2013)