Sumários

Dimensão dum espaço vetorial. Característica duma matriz

25 novembro 2015, 12:30 Ana Moura Santos

Qualquer conjunto com mais vetores do que os duma base é L.D. Todas as bases para um dado espaço vetorial têm exatamente o mesmo nº de vetores.

Definição de dimensão como sendo o nº de vetores numa base de \(V\), no caso dum espaço vetorial de dimensão finita,  \(dim V=p\), (caso 1) e \(dim \{{\bf 0}\}=0\) (caso 2); ainda há espaços de dimensão infinita (caso 3). Exemplos de determinação da dimensão dos (sub)espaços de polinómios \(P_4\), do espaço \(R^n\) e do espaço de matrizes \(2\times 2\) e generalizações.

Determinação de bases e da dimensão para subespaços gerados e para os subespaços \(Nul(A)\) e \(Col(A)\) com \(A\), \(m\times n\). Definição do subespaço \(Lin(A)\), sendo \(Lin(A)=Col(A^T)\), e de característica duma matriz como sendo a dimensão de \(Col(A)\).

T.P.C.: exercícios da secção 4.5


Dimensão dum espaço vetorial. Característica duma matriz

25 novembro 2015, 11:30 Ana Moura Santos

Todas as bases para um dado espaço vetorial têm exatamente o mesmo nº de vetores. Qualquer conjunto com mais vetores do que os duma base é L.D.

Definição de espaço de dimensão finita, espaço de dimensão infinita e dimensão dum espaço de dimensão finita: \(dim V=n\), com n=nº de vetores numa base de \(V\); \(dim \{{\bf 0}\}=0\). Exemplos de determinação da dimensão dos (sub)espaços de polinómios \(P_n\), do espaço \(R^n\) e do espaço de matrizes \(2\times 2\).

A dimensão dum subespaço \(H\) dum espaço vetorial \(V\) é sempre menor ou igual à dimensão de \(V\).

Quando \(dim V=p\), todo o conjunto com menos do que \(p\) vetores não gera \(V\).

Determinação da dimensão dos subespaços \(Nul(A)\) e \(Col(A)\).

T.P.C.: exercícios da secção 4.5


Aula de Problemas

25 novembro 2015, 10:00 Ricardo Schiappa

Resolução de exercícios seleccionados, de entre os aconselhados como trabalhos para casa.


Aula de Problemas

25 novembro 2015, 08:30 Ricardo Schiappa

Resolução de exercícios seleccionados, de entre os aconselhados como trabalhos para casa.


Sistemas de coordenadas. Bases e dimensão

23 novembro 2015, 13:00 Ana Moura Santos

Definição de vetor de coordenadas numa dada base. Teorema da unicidade da representação. Exemplo: diferentes grelhas de R 2. Matriz mudança da base \(B\) para a base canónica e a matriz inversa.

Exemplo: vetor de coordenadas e mudança de coordenadas para polinómios de grau menor ou igual a 2. Isomorfismo do espaço de polinómios grau menor ou igual a 2 e dos vetores de \(R^3\) como dois mundos paralelos. Verificação da independência linear de conjuntos de vetores generalizados, usando a independência linear dos correspondentes vetores de coordenadas.

 

T.P.C.: exercícios da secção 4.4.