Sumários

12ª Aula Prática Online - Exercícios sobre determinante a aplicações (aula online)

8 janeiro 2021, 18:00 Luis Magalhães

Exercicios sobre determinante e aplicações.

Determinação de determinante de matriz de blocos.

Invariância do determinante sob transformações de semelhança. Determinante de transformação linear em espaço linear de dimensão finita.

Valores próprios de matrizes ortogonais e de matrizes unitárias.

Determinante de exponencial de matriz.


Aula Prática - Exercícios sobre determinante a aplicações

8 janeiro 2021, 12:00 Luis Magalhães

Exercicios sobre determinante e aplicações.

Determinação de determinante de matriz de blocos.

Invariância do determinante sob transformações de semelhança. Determinante de transformação linear em espaço linear de dimensão finita.

Valores próprios de matrizes ortogonais e de matrizes unitárias.


35ª Aula - Revisão de norma de operador para matrizes e transformações lineares entre espaços normados de dimensão finita. Raio espectral. Círculos e domínio de Gershgorin. Série de potências para exponencial de matriz. Nã comutação e comutação de exponenciais de maytrizes

7 janeiro 2021, 10:00 Luis Magalhães

Revisão: Norma de operador para matrizes e transformações lineares entre espaços normados de dimensão finita. Referência a normas ide operador induzidas por normas-p em ℝe ℂn (p≥1) e norma-∞ . Fórmulas para a norma de operador de matriz nxn induzida pelas normas 1, canónica e ∞ em ℝou ℂn. Desigualdade ||AB||≤||A||B|| para normas de operador, que pode falhar para outras normas (e.g. para ||A||=tra(A*A)).

Raio espectral e majoração do raio espectral de matriz por qualquer das suas normas de operador.

Círculos e domínio de Gershgorin. Exemplo.

Revisão: Definição e obtenção de exponenciais de matrizes quadradas reais ou complexas eAt a partir de soluções da equação diferencial x'=Ax (casos de matriz diagonal, diagonalizável, diagonalizável por blocos, não diagonalizável. esta utilizando forma canónica de Jordan).

Revisão de CDI1: Série de Taylor em 0 para exponencial real de variável real.

Definição de série de matrizes convergente e absolutamente convergente.

Proposição: eAt=∑k=0∞ (At)k/k! , analogamente ao caso de a ser escalar real ou complexo.

Proposição: (eAt)'=AeAt=eAtA .

Exemplos de obtenção de eA com a série.

Proposição: Se A,B são matrizes quadradas reais ou complexas, eA comuta com eB (e, portanto, eA+B=eAeB=eBeA) se e só se A comuta com B ..

Observação: A prova de suficiência é uma aplicação directa ddas séries para eA e eB . A prova de necessidade exige a utilização de limites generalizando a ffórmula para exponenciais reais ex= lim (1+x/n)n. É exemplo de um resultado de enunciado puramente algébrico, com prova que requer utilização de Análise Matemática.


Aula Prática - Exercícios sobre determinante a aplicações

6 janeiro 2021, 12:30 Luis Magalhães

Exercicios sobre determinante e aplicações.

Determinação de determinante de matriz de blocos.

Invariância do determinante sob transformações de semelhança. Determinante de transformação linear em espaço linear de dimensão finita.

Valores próprios de matrizes ortogonais e de matrizes unitárias.


Aula Prática - Exercícios sobre determinante a aplicações

6 janeiro 2021, 11:00 Luis Magalhães

Exercicios sobre determinante e aplicações.

Determinação de determinante de matriz de blocos.

Invariância do determinante sob transformações de semelhança. Determinante de transformação linear em espaço linear de dimensão finita.

Valores próprios de matrizes ortogonais e de matrizes unitárias.