27ª Aula - Produtos internos e espaços euclidianos: motivação, definição, noções básicas (projecção ortogonal, norma, ortogonalidade, ângulo) e desigualdade de Cauchy-Schwarz. Produtos internos canónicos em ℝn e ℂn. Matriz adjunta e cálculo de produtos internos canónicos com operações de matrizes. Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Exemplos de produtos internos não canónicos em ℝn e consequências.

11 novembro 2019, 12:00 • Luis Magalhães

Revisão da motivação dos conceitos de espaço euclidiano e produto interno.

Definição: Produto interno num espaço linear real ou complexo V é função de V² nos escalares de V (x,y)↦<x,y> com as propriedades:
(1) Linearidade no 1º factor com o 2º fixo: x ↦ <x,y> com y∈V fixo é transformação linear de V nos escalares de V ;
(2) Simetria (se V é espaço linear real) ou simetria hermitiana (se V é espaço linear complexo): <y,x>=⟨x,y⟩ ∀_x,y∈V .
(3) Positividade: x≠0 ⇒ <x,x> >0 ∀_x∈V .

Espaço euclidiano é um espaço linear com um produto interno.

Definições num espaço euclidiano: norma ou comprimento de vector (||x||=<x,x>(1/2)), projecção ortogonal de vector y sobre vector x≠0 ( (<y,x>/||x||²)x ), vectores ortogonais x⊥y (<x,y>=0), ângulo entre vectores ≠0 ( arc cos(<x,y>/(||x|| ||y||)) ).

Motivação geométrica da Desigualdade de Cauchy-Schwarz: o comprimento da projecção ortogonal de qualquer vector y sobre um vector ≠0 é ≤ ao comprimento de y, com igualdade se e só se os vectores são colineares.

Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |<x,y>| ≤ ||x|| ||y|| ∀_x,y∈V, com igualdade se e só se x,y são linearmente dependentes.

(Dem.: Para x≠0 calcular 0 ≤ || y - <y,x>/||x||²) x ||² e verificar que igualdade só acontece se x,y são linearmente dependentes. Para x=0 os dois lados da desigualdade são 0 e x,y são linearmente dependentes.)

Exemplos: Produtos internos canónicos em ℝⁿ e em ℂⁿ, cálculo de normas, ângulos, ortogonalidade e conjunto dos pontos equidistantes da origem (em ℝⁿ é uma superfície esférica no espaço n-dimensional; em ℝ² é uma circunferência; em ℝ³ é a superfície de uma esfera neste espaço), cálculo de produto interno canónico com produtos de matrizes: x·y=y^tx em espaço linear real, x·y=y*x em espaço linear complexo; se A é matriz complexa, a adjunta de A é A* que é a transposta da matriz obtida conjugando todas as componentes de A . Exemplos de produtos internos não canónicos em ℝ²: exemplos em que os vectores da base canónica têm comprimentos ≠1 e não são ortogonais, e em que os conjuntos de pontos equidistantes da origem são elipses.

Aula prática 8

8 novembro 2019, 12:00 • Joana Ventura

Resolução de exercícios sobre transformações lineares.

26ª Aula - Revisão: Aplicação do T. de Característica e Nulidade a adição e composição de transformações lineares. Aplicação a soma e produto de marizes. Revisão das condições equivalentes a invertibilidade de transformação linear dadas anteriormente e condições equivalentes adicionais. Equações linearesgerais: definição, princípio de sobreposição, têm 0, 1 ou infinitas soluções, exemplo com equação diferencial de oscilador harmónico forçado por função coseno. Motivação do conceito de produto interno e de espaço euclidiano.

7 novembro 2019, 10:00 • Luis Magalhães

Revisão: 
Aplicação do Teorema de Característica e Nulidade a adição e composição de transformações lineares:
(1) Se S,T∈L(V,W) , então  rank S+T ≤ rank S + rank T - dim R(S)∩R(T) .
(2) Corolário: Se S,T∈L(V,W) , então rank S+T ≤ rank S + rank T (a característica de transformações lineares é subaditiva).
(3) Se T∈L(U,V) e S∈L(V,W) , então rank T + rank S - dim V ≤ rank ST ≤ min{rank S , rank T} .
(4) Corolário: Se T∈L(U,V), S∈L(V,W) e dim U = dim V, então  max{nul T, nul S} ≤ nul ST ≤ nul S + nul T  (Lei da Nulidade de Sylvester).

As propriedades da característica da soma e da composição de transformações lineares dão em (dimensão finita) propriedades correspondentes para matrizes A,B (com dimensões comatíveis com as operações):
(1) rank A+B ≤ rank A + rank B - dim R(A)∩R(B) .
(2) Corolário: rank A+B ≤ rank A + rank B
(3) rank A + rank B - nº de colunas de B ≤ rank BA ≤ min{rank A , rank B} .
(4) Corolário: Se A é quadrada, então  max{nul A, nul B} ≤ nul BA ≤ nul A + nul B  (Lei da Nulidade de Sylvester).

Revisão: Invertibilidade de transformações lineares:
Se T é uma transformação linear com domínio V, as afirmações seguintes são equivalentes:
(1) T é injectiva;
(2) T é invertível e T-1 é transformação linear de T(V) em V ;
(3) T é isomorfismo do espaço linear V em T(V) ;
(4) N(T)={0} .
(Dem.: (1)⇒(2)⇒(3)⇒(4)⇒(1)), 

(continuação) 
(5) dim T(V)=rank T=dim V ;
(6) T transforma bases de V em bases de T(V) . 
(7) T transforma vectores linearmente independentes em vectores linearmente independentes;
(Dem.: (4)⇔(5) do T. de Característicae Nulidade, (3)⇔(6) um isomorfismo transforma bases em bases; reciprocamente a imagem de um vector com componentes x numa base B de V é um vector  com componentes x na base T(B) de T(V) , e T é biunívoca,  (6)⇒(7) pois um subconjunto S de V linearmente independente é subconjunto de uma base de V , que é transformada numa base B de T(V) ; logo, T(S)⊂B é linearmente independente. (7)⇒(6) pois a imagem T(B) de uma base B de V tem n=dim V vectores linearmente independentes em T(V) e dim T(V)=dim V=n ; logo,  T(B) é base de T(V) .

Equações lineares gerais: T(x)=b com T∈L(V,W) e b∈W. 
Princípio de sobreposição: A solução geral de T(x)=b é a soma da solução geral da equação homogénea correspondente T(x)=0 com uma solução particular qualquer da equação T(x)=b .
Para nº de soluções de equações lineares gerais há exactamente as mesmas possibilidades de sistemas de equações lineares: (1) 0 soluções ⇔ b∉T(V) , (2) 1 solução ⇔ b∈T(V) e N(T)={0} , (3)  soluções ⇔ b∈T(V) e N(T)≠{0} . 

Exemplo: Oscilador harmónico linear forçado com força cosinusoidal  y''+(ω₀)²y=F₀cos ωt , com  F₀≠0, ω>0 . Uma solução particular para ω²≠ω₀² é y_p(t)=A cos ωt , com A=F₀/[(ω₀)² - ω²] , e para  ω²=ω₀² é y_p(t) = B t sin ω₀t , com B=F₀/(2ω₀) . Ressonância da frequência da força externa aplicada com a frequência própria do sistema livre. Consequências da ressonância para aplicações, tanto para evitar ressonância como para a aproveitar. 

Motivação da definição de produto interno: operação binária (x,y)↦<x,y> de V² em |K um espaço linear V real ou complexo (conforme |K=ℝ ou ℂ) para definir ortogonalidade de vectores, calcular projecções ortogonais de vectores sobre vectores não nulos, comprimento de vectores e ângulos de vectores. Um espaço linear com um produto interno chama-se espaço euclidiano. Ilustração geométrica que para y fixo, x↦<x,y> deve ser uma transformação linear de V em |K .

Aula prática 8

6 novembro 2019, 12:30 • Joana Ventura

Resolução de exercícios sobre transformações lineares.

Aula prática 8

6 novembro 2019, 11:00 • Joana Ventura

Resolução de exercícios sobre transformações lineares.